ПУАССО́НА ТЕОРЕ́МА

ПУАССО́НА ТЕОРЕ́МА, од­на из пре­дель­ных тео­рем тео­рии ве­ро­ят­но­стей, даю­щая пре­дель­ное рас­пре­де­ле­ние чис­ла на­сту­п­ле­ний не­ко­то­ро­го ма­ло­ве­ро­ят­но­го (ред­ко­го) со­бы­тия при боль­шом чис­ле не­за­ви­си­мых ис­пы­та­ний. Ес­ли, напр., $P_n(k)$ ве­ро­ят­ность то­го, что в Бер­нул­ли схе­ме, со­стоя­щей из $n$ опы­тов, не­ко­то­рое со­бы­тие $A$, имею­щее ве­ро­ят­ность $p$, на­сту­пи­ло $k$ раз, то П. т. ут­вер­жда­ет, что при боль­ших зна­че­ни­ях $n$ и $1/p$ ве­ро­ят­но­сти $P_n(k), k=0,1,...,n$, близ­ки к чис­лам $$\frac{(np)^k}{k!}e^{-np}.$$Ве­ли­чи­на $np=λ$ есть сред­нее зна­че­ние чис­ла на­сту­п­ле­ния со­бы­тия $A$, а ве­ли­чины $\frac{λ^k}{k!}e^{-λ},\,k=0,1,2,..., λ\gt 0$, со­став­ляют Пу­ас­со­на рас­пре­де­ле­ние. Бо­лее удоб­на П. т. в фор­ме не­ра­вен­ст­ва для бо­лее об­щей схе­мы, чем схе­ма Бер­нул­ли: ес­ли со­бы­тие $A$ на­сту­па­ет в $j$-м опы­те с ве­роят­но­стью $p_j,\,j=1,2,...,n, λ=p_1+...+p_n$, $δ=p^2_1+...+p^2_n,$ то при $n⩾2$ и всех $k=0,1,...,n$ $$\left|P_n(k)-\frac{λ^k}{k!}e^{-λ} \right| \leqslant 2δ.$$Это не­ра­вен­ст­во оце­ни­ва­ет ошиб­ку при за­ме­не $P_n(k)$ ве­ли­чи­ной $\frac{λ^k}{k!}e^{-λ}$. Ес­ли, напр., $p_1=...=p_n=λ/n$, то $δ=λ^2/n$, и ошиб­ка умень­ша­ет­ся с рос­том $n$. Ны­не в П. т. обыч­но ис­поль­зу­ет­ся се­рий схе­ма. Од­на из форм П. т. име­ет сле­дую­щий вид. Пусть $$X_{1,1},\\ X_{2,1}, X_{2,2},\\ ...\\X_{n,1}, X_{n,2}, ..., X_{n,n},$$ – схе­ма се­рий, со­стоя­щая из слу­чай­ных ве­ли­чин $X_{n, j},\,n=1,2,..., j=1,...,n$ (пер­вый ин­декс – но­мер се­рии, вто­рой – номер ве­ли­чи­ны в се­рии), слу­чай­ные ве­ли­чи­ны в ка­ж­дой се­рии не­за­ви­си­мы, оди­на­ко­во рас­пре­де­ле­ны и $\sf{P}\it\{X_{n, j}=0\}=1-p_n,$ $\sf{P}\it\{X_{n,j}=1\}=p_n,\,j=1,...,n$. Ес­ли $np_n→λ$, $λ\gt 0$, при $n→∞$, то $$\sf{P}\it \{X_{n,1}+...+P_{n,n}=k\}\rightarrow \frac{λ^k}{k!}e^{-λ},\\k=0, 1, 2, ... .$$ П. т. ус­та­нов­ле­на С. Пу­ас­со­ном в 1837.

Тео­ре­мой Пу­ас­со­на на­зы­ва­ет­ся так­же од­на из форм боль­ших чи­сел за­ко­на.