БОЛЬШИ́Х ЧИ́СЕЛ ЗАКО́Н

БОЛЬШИ́Х ЧИ́СЕЛ ЗАКО́Н, об­щий прин­цип, со­глас­но ко­то­ро­му со­вме­ст­ное дей­ст­вие боль­шо­го чис­ла слу­чай­ных фак­то­ров при­во­дит при не­ко­то­рых весь­ма об­щих ус­ло­ви­ях к ре­зуль­та­ту, поч­ти не за­ви­ся­ще­му от слу­чая. Сбли­же­ние час­то­ты на­сту­п­ле­ния слу­чай­но­го со­бы­тия с его ве­ро­ят­но­стью при воз­рас­та­нии чис­ла ис­пы­та­ний (т. н. ус­той­чи­вость час­тот) мо­жет слу­жить при­ме­ром дей­ст­вия это­го прин­ци­па.

На ру­бе­же 17 и 18 вв. Я. Бер­нул­ли

до­ка­зал тео­ре­му, ут­вер­ждаю­щую, что в по­сле­до­ва­тель­но­сти не­за­ви­си­мых ис­пы­та­ний, в ка­ж­дом из ко­то­рых ве­ро­ят­ность на­сту­п­ле­ния не­ко­то­ро­го со­бы­тия $A$ име­ет од­но и то же зна­че­ние $p$, $0{<}p{<}1$, вер­но со­от­но­ше­ние $$\mathsf P \left \{ \left | \frac {S_n}{n}-p \right | > ε \right \} \to0 \qquad (1)$$ при лю­бом фик­си­ро­ван­ном $ε>0$ и $n \to \infty$; здесь $S_n$ – чис­ло по­яв­ле­ний со­бы­тия $A$ в пер­вых $n$ ис­пы­та­ни­ях, $S_n/n$ – час­то­та по­яв­ле­ний, $\mathsf P$ – ве­ро­ят­ность со­бы­тия, ука­зан­но­го в скоб­ках. Эта Бер­нул­ли тео­ре­ма

 >>

бы­ла рас­про­стра­не­на С. Пу­ас­со­ном

 >>

на слу­чай по­сле­до­ва­тель­но­сти не­за­ви­си­мых ис­пы­та­ний, где ве­ро­ят­ность по­яв­ле­ния со­бы­тия $A$ мо­жет за­ви­сеть от но­ме­ра ис­пы­та­ния. Пусть эта ве­ро­ят­ность для $k$-го ис­пы­та­ния рав­на $p_k,\ k=1, 2, …,$ и пусть $$p̅_n=\frac{p_1+...p_n}{n}.$$ То­гда Б. ч. з. в фор­ме Пу­ас­со­на ут­вер­жда­ет, что $$\mathsf P \left \{ \left | \frac {S_n}{n}-p̅_n \right | > ε \right \} \to0 \qquad (2)$$ для лю­бо­го фик­си­ро­ван­но­го $ε>0$ при $n→∞$. Стро­гое до­ка­за­тель­ст­во это­го ут­вер­жде­ния бы­ло да­но П. Л. Че­бы­ше­вым

 >>

(1846). Тер­мин «за­кон боль­ших чи­сел» впер­вые встре­ча­ет­ся у Пу­ас­со­на, так он на­звал вы­ше­ука­зан­ное обоб­ще­ние тео­ре­мы Бер­нул­ли.

Даль­ней­шие обоб­ще­ния ут­вер­жде­ний Бер­нул­ли и Пу­ас­со­на воз­ни­ка­ют, ес­ли за­ме­тить, что слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $S_n$ мож­но пред­ста­вить в ви­де сум­мы $S_n=X_1+…+X_n$ не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин, где $X_k=1$, ес­ли $A$ по­яв­ля­ет­ся в $k$-м ис­пы­та­нии, и $X_k=0$ в про­тив­ном слу­чае, $k=1, .., n$. При этом ма­те­мати­че­ское ожи­да­ние

$\mathsf E(S_n/n)$ рав­но $p$ для слу­чая Бер­нул­ли и для слу­чая Пу­ас­со­на. Дру­ги­ми сло­ва­ми, в обо­их слу­ча­ях рас­смат­ри­ва­ет­ся от­кло­не­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го ве­ли­чин $X_1, ..., X_n$ от сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го их ма­те­ма­тич. ожи­да­ний.

В ра­бо­те П. Л. Че­бы­ше­ва «О сред­них ве­ли­чи­нах» (1867) бы­ло ус­та­нов­ле­но, что для не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин $X_1, X_2, …,$ со­от­но­ше­ние $$\mathsf P \left \{ \left | \frac {X_1+…+X_n}{n}- \frac {\mathsf EX_1+…+\mathsf EX_n}{n} \right | > ε \right \} \to0 \qquad (3)$$

при $n→∞$ вер­но для лю­бо­го фик­си­ро­ван­но­го $ε>0$ при весь­ма об­щих пред­поло­же­ни­ях. Че­бы­шев пред­по­ла­гал, что ма­те­ма­тич. ожи­да­ния $\mathsf EX_k^2$ ог­ра­ни­че­ны од­ной и той же по­сто­ян­ной, хо­тя из его до­ка­за­тель­ст­ва вид­но, что дос­та­точ­но ог­ра­ни­чен­но­сти дис­пер­сий

 >>

$\mathsf DX_k$, или да­же вы­пол­не­ния ус­ло­вия $$B_n^2=\mathsf DX_1+...+\mathsf DX_n=o(n^2)$$

при $n→∞$. Та­ким об­ра­зом, Че­бы­шев по­ка­зал воз­мож­ность ши­ро­ко­го обоб­ще­ния тео­ре­мы Бер­нул­ли. А. А. Мар­ков

от­ме­тил воз­мож­ность даль­ней­ших обоб­ще­ний и пред­ло­жил при­менять назв. «Б. ч. з.» ко всей со­во­куп­но­сти обоб­ще­ний тео­ре­мы Бер­нул­ли, и в ча­ст­но­сти к (3). Ме­тод Че­бы­ше­ва ос­но­ван на ус­та­нов­ле­нии об­щих свойств ма­те­ма­тич. ожи­да­ний и на ис­поль­зо­ва­нии т. н. Че­бы­ше­ва не­ра­вен­ст­ва

 >>

. По­сле­дую­щие до­ка­за­тель­ст­ва разл. форм Б. ч. з. в той или иной сте­пе­ни яв­ля­ют­ся раз­ви­ти­ем ме­то­да Че­бы­ше­ва. При­ме­няя над­ле­жа­щее «уре­за­ние» слу­чай­ных ве­ли­чин $X_k$ (за­ме­ну их вспо­мо­га­тель­ны­ми ве­ли­чи­на­ми $X_{k,n}$, рав­ны­ми $X_{n,k}=X_k$, ес­ли $|X_k-\mathsf EX_k|{⩽}t_n$, и рав­ны­ми ну­лю в про­тив­ном слу­чае, где $t_n$ за­ви­сят лишь от $n$), Мар­ков рас­про­стра­нил Б. ч. з. на слу­чаи, ко­гда дис­пер­сии сла­гае­мых не су­ще­ст­ву­ют. Напр., он по­ка­зал, что (3) име­ет ме­сто, ес­ли для не­ко­то­ро­го чис­ла $δ>0$ ве­ли­чи­ны $\mathsf E|X_k-\mathsf EX_k|^{1+δ}$ ог­ра­ни­че­ны од­ной и той же по­сто­ян­ной.

 

 

Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся тео­ре­ма Хин­чи­на (1929): ес­ли $X_1, X_2, …$ име­ют оди­на­ко­вые за­ко­ны рас­пре­де­ле­ния и $\mathsf EX_1$ су­ще­ст­ву­ет, то Б. ч. з. (3) вы­пол­ня­ет­ся.

Су­ще­ст­ву­ют при­ме­ры, ко­гда Б. ч. з. не вы­пол­ня­ет­ся. Так, он не вы­пол­ня­ет­ся, ес­ли слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $X_1, X_2, …$ име­ют Ко­ши рас­пре­де­ле­ние

, т. е. рас­пре­де­ле­ние с плот­но­стью $1/(π(1+x^2))$. Здесь сред­ние ариф­ме­ти­че­ские $(X_1+...+X_n)/n$ пер­вых $n$ слу­чай­ных ве­ли­чин име­ют при лю­бом $n$ то же са­мое рас­пре­де­ле­ние, что и от­дель­ные сла­гае­мые. Для рас­пре­де­ле­ния Ко­ши ма­те­ма­тич. ожи­да­ние не су­ще­ст­ву­ет.

При­ме­ни­мость Б. ч. з. к сум­мам за­ви­си­мых ве­ли­чин свя­за­на в пер­вую оче­редь с убы­ва­ни­ем за­ви­си­мо­сти ме­ж­ду слу­чай­ны­ми ве­ли­чи­на­ми $X_i$ и $X_j$ при уве­ли­че­нии раз­но­сти их но­ме­ров, т. е. при уве­ли­че­нии $|i-j|$. Впер­вые со­от­вет­ст­вую­щие тео­ре­мы бы­ли до­ка­за­ны А. А. Мар­ко­вым (1907) для ве­ли­чин, свя­зан­ных в Мар­ко­ва цепь

.

Пред­став­ле­ние об от­кло­не­ни­ях $S_n/n$ от $A_n=(\mathsf EX_1+...+\mathsf EX_n)/n$, на­ря­ду с нера­вен­ст­вом Че­бы­ше­ва и его уточ­не­ния­ми, да­ёт цен­траль­ная пре­дель­ная тео­ре­ма

.

Пре­ды­ду­щие ре­зуль­та­ты мож­но обоб­щать в разл. на­прав­ле­ни­ях. Так, всю­ду вы­ше рас­смат­ри­ва­лась т. н. схо­ди­мость по ве­ро­ят­но­сти. Рас­смат­ри­ва­ют и др. ви­ды схо­ди­мо­сти, напр. схо­ди­мость в сред­нем квад­ра­тич­ном и схо­ди­мость с ве­ро­ят­но­стью 1 (схо­ди­мость поч­ти на­вер­ное). Обоб­ще­ния Б. ч. з. на слу­чай схо­ди­мо­сти с ве­ро­ят­но­стью 1 на­зы­ва­ют уси­лен­ны­ми Б. ч. з.

Пусть $X_1, X_2, …$ – по­сле­до­ва­тель­ность слу­чай­ных ве­ли­чин и, как и рань­ше, $S_n=X_1+ …+X_n$. Го­во­рят, что по­сле­до­ва­тель­ность $X_1, X_2, …$ удов­ле­тво­ря­ет уси­лен­но­му Б. ч. з., ес­ли су­ще­ст­ву­ет та­кая по­сле­до­ва­тель­ность по­сто­ян­ных $A_n$, что ве­ро­ят­ность со­от­но­ше­ния $S_n/n-A_n→0$ при $n→∞$ рав­на 1. По­сле­до­ва­тель­ность $X_1, X_2, …$ удов­ле­тво­ря­ет уси­лен­но­му Б. ч. з. то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда при лю­бом фик­си­ро­ван­ном $ε>0$ ве­ро­ят­ность од­но­вре­мен­но­го вы­пол­не­ния не­ра­венств $$\left | \frac {S_n}{n}-A_n \right |{⩽}ε,  \ \left | \frac {S_{n+1}}{n+1}-A_{n+1} \right |{⩽}ε, \ ...$$ стре­мит­ся к 1 при $n→∞$. Т. о., здесь рас­смат­ри­ва­ет­ся по­ве­де­ние всей по­сле­до­ватель­но­сти сумм в це­лом, в то вре­мя как в обыч­ном Б. ч. з. речь идёт лишь об отд. сум­мах. Ес­ли по­сле­до­ва­тель­ность $X_1, X_2, …$ удов­ле­тво­ря­ет уси­лен­но­му Б. ч. з., то она удов­ле­тво­ря­ет и обыч­но­му Б. ч. з. с те­ми же са­мы­ми $A_n$, т. е. $$\mathsf P \left \{ \left | \frac {S_n}{n}-A_n \right |≤ ε \right \} \to1$$ при лю­бом фик­си­ро­ван­ном $ε>0$ и $n\to\infty$. Об­рат­ное, во­об­ще го­во­ря, не­вер­но.

Уси­лен­ный Б. ч. з. был впер­вые сфор­му­ли­ро­ван и до­ка­зан Э. Бо­ре­лем

(1909) для схе­мы Бер­нул­ли. Ча­ст­ные слу­чаи схе­мы Бер­нул­ли воз­ни­ка­ют, напр., при раз­ло­же­нии взя­то­го нау­да­чу (т. е. с рав­но­мер­ным рас­пре­де­ле­ни­ем) дей­ст­ви­тель­но­го чис­ла из от­рез­ка [0, 1] в бес­ко­нечную дробь по к.-л. ос­но­ва­нию. Так, в дво­ич­ном раз­ло­же­нии $$ω=\sum\nolimits_{n=1}^\infty\frac{X_n(ω)}{2^n}$$ слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $X_1(ω), X_2(ω),…$ при­ни­ма­ют два зна­че­ния 0 и 1 с ве­ро­ятно­стью ¹/₂ ка­ж­дое и яв­ля­ют­ся не­за­виси­мы­ми. Сум­ма $S_n(ω)=\sum\nolimits_{k-1}^nX_k(ω)$ рав­на чис­лу еди­ниц сре­ди пер­вых $n$ зна­ков дво­ич­но­го раз­ло­же­ния $ω$, а $S_n(ω )/n$ – их до­ле. В то же вре­мя слу­чай­ную ве­личи­ну $S_n$ мож­но рас­смат­ри­вать как чис­ло «ус­пе­хов» в схе­ме Бер­нул­ли с ве­ро­ят­но­стью «ус­пе­ха» (по­яв­ле­ния 1), рав­ной ¹/₂. Бо­рель до­ка­зал, что до­ля еди­ниц $S_n(ω)/n$ стре­мит­ся к ¹/₂ при $n→∞$ для поч­ти всех $ω$ из от­рез­ка [0, 1] (т. е. ле­бе­го­ва ме­ра мно­же­ст­ва тех то­чек $ω∈$ [0, 1], для ко­то­рых $\lim\limits_{n\to\infty}S_n(ω )/n=$ ¹/₂, рав­на 1). Ана­ло­гич­но, при раз­ло­же­нии $ω$ по ос­но­ва­нию 10 мож­но на­звать «ус­пехом» по­яв­ле­ние к.-л. од­ной из цифр 0, 1, …, 9 (напр., циф­ры 3). При этом по­лу­ча­ет­ся схе­ма Бер­нул­ли с ве­ро­ят­но­стью ус­пе­ха ¹/₁₀, и час­то­та по­яв­ле­ния вы­бран­ной циф­ры сре­ди пер­вых $n$ зна­ков де­ся­тич­но­го раз­ло­же­ния $ω$ стре­мит­ся к ¹/₁₀ для поч­ти всех $ω$ из от­рез­ка [0, 1] (та­кие чис­ла $ω$ ино­гда на­зы­ва­ют нор­маль­ны­ми). Бо­рель от­ме­тил так­же, что час­то­та по­яв­ле­ния лю­бой фик­си­ро­ван­ной груп­пы из $r$ цифр стре­мит­ся к ¹/₁₀ r для поч­ти всех $ω$.

В слу­чае не­за­ви­си­мых сла­гае­мых наи­бо­лее из­вест­ны­ми яв­ля­ют­ся ус­ло­вия спра­вед­ли­во­сти уси­лен­но­го Б. ч. з., ус­та­нов­лен­ные А. Н. Кол­мо­го­ро­вым

: дос­та­точ­ное (1930) – для ве­ли­чин с ко­нечны­ми дис­пер­сия­ми и не­об­хо­ди­мое и дос­та­точ­ное (1933) – для оди­на­ко­во рас­пре­де­лён­ных ве­ли­чин (за­клю­чаю­щее­ся в су­ще­ст­во­ва­нии ма­те­ма­тич. ожи­да­ния этих ве­ли­чин). Тео­ре­ма Кол­мо­го­ро­ва для не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин $X_1, X_2, …$ с ко­неч­ны­ми дис­пер­сия­ми ут­вер­жда­ет, что из ус­ло­вия $$\sum\nolimits_{n=1}^\infty\frac{\mathsf DX_n}{n^2}<\infty$$ вы­те­ка­ет спра­вед­ли­вость уси­лен­но­го Б. ч. з. с $A_n=\mathsf E(S_n/n)$.

Пред­став­ле­ние об от­кло­не­ни­ях $S_n/n$ от $A_n$ да­ёт по­втор­но­го ло­га­риф­ма за­кон

.