МАТЕМАТИ́ЧЕСКОЕ ОЖИДА́НИЕ

МАТЕМАТИ́ЧЕСКОЕ ОЖИДА́НИЕ, од­на из чи­сло­вых ха­рак­те­ри­стик рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей слу­чай­ной ве­ли­чи­ны. Для слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$, при­ни­маю­щей зна­че­ния $x_1,x_2,...$ с ве­ро­ят­но­стя­ми, рав­ны­ми со­от­вет­ст­вен­но $p_1,p_2,...$, М. о. $\mathbf{E}X$ оп­ре­де­ля­ет­ся ра­вен­ст­вом $$\mathbf{E}X=\sum_{k=1}^{\infty }x_kp_k$$

при ус­ло­вии, что ряд схо­дит­ся аб­со­лют­но. Для слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$ с не­пре­рыв­ным рас­пре­де­ле­ни­ем, имею­щим плот­ность ве­ро­ят­но­сти $p(x)$, М. о. оп­ре­де­ля­ет­ся ра­вен­ст­вом $$\mathbf{E}X=\int_{-\infty }^{\infty }xp(x)dx$$

при ус­ло­вии, что ин­те­грал схо­дит­ся аб­со­лют­но. В об­щем слу­чае М. о. оп­ре­де­ля­ет­ся ра­вен­ст­вом $$\mathbf{E}X=\int_{-\infty }^{\infty }xdF(x)$$

при ус­ло­вии, что ин­те­грал схо­дит­ся аб­со­лют­но. Здесь $F(x)$ – функ­ция рас­пре­де­ле­ния слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$, а ин­теграл по­ни­ма­ет­ся в смыс­ле Ри­ма­на – Стил­ть­е­са.

При сло­же­нии слу­чай­ных ве­ли­чин их М. о. скла­ды­ва­ют­ся, при ум­но­же­нии не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин их М. о. пе­ре­мно­жа­ют­ся.

На­зва­ние «М. о.» про­ис­хо­дит от по­ня­тия «ожи­дае­мое зна­че­ние вы­иг­ры­ша» (М. о. вы­иг­ры­ша), впер­вые поя­вив­ше­го­ся в тру­дах Б. Пас­ка­ля и Х. Гюй­ген­са в за­да­чах, свя­зан­ных с азарт­ны­ми иг­рами. Тер­мин «М. о.» ввёл П. Ла­п­лас (1795); в пол­ной ме­ре это по­ня­тие бы­ло оце­не­но и ис­поль­зо­ва­но П. Л. Че­бы­ше­вым. М. о. ха­рак­те­ри­зу­ет рас­по­ло­же­ние «цен­тра» зна­че­ний слу­чай­ной ве­ли­чи­ны, ана­ло­гом М. о. в ме­ха­ни­ке яв­ля­ет­ся центр тя­же­сти. Ино­гда М. о. EX на­зы­ва­ют сред­ним зна­че­ни­ем слу­чай­ной ве­ли­чи­ны X. М. о. уча­ст­ву­ет в фор­му­ли­ров­ках фун­дам. ут­вер­жде­ний ве­ро­ят­но­стей тео­рии (см. Боль­ших чи­сел за­кон, Цен­траль­ная пре­дель­ная тео­ре­ма). Мн. важ­ные ха­рак­те­ри­сти­ки рас­пре­де­ле­ний ве­ро­ят­но­стей оп­ре­де­ля­ют­ся как М. о. не­ко­то­рых функ­ций от слу­чай­ных ве­ли­чин (см., напр., Мо­мент, Про­из­во­дя­щая функ­ция, Ха­рак­те­ри­сти­че­ская функ­ция).

В ак­сио­ма­тич. тео­рии ве­ро­ят­но­стей, где ис­ход­ным по­ня­ти­ем яв­ля­ет­ся ве­ро­ят­но­ст­ное про­стран­ст­во $(Ω, 𝒜, \mathbf{P})$, слу­чай­ны­ми ве­ли­чи­на­ми (при­ни­маю­щи­ми дей­ст­вит. зна­че­ния) яв­ля­ют­ся из­ме­ри­мые от­но­си­тель­но $σ$-ал­геб­ры $𝒜$ функ­ции, т. е. та­кие функ­ции $X(ω)$, $ω∈Ω$, для ко­то­рых $ \{ ω:X(ω) < x \}∈𝒜$ для лю­бо­го дей­стви­тель­но­го $x$, и М. о. $X$ оп­ре­де­ля­ет­ся с по­мо­щью ин­те­гра­ла Ле­бе­га $$\mathbf{E}X=\int_{\Omega }X(\omega )\mathbf{P}(d\omega )$$

(обыч­но при ус­ло­вии, что он ко­не­чен). Из это­го оп­ре­де­ле­ния сле­ду­ют ра­вен­ст­ва, при­ве­дён­ные вы­ше.

В не­ко­то­рых за­да­чах тео­рии ве­ро­ят­но­стей и ма­те­ма­тич. ста­ти­сти­ки ис­поль­зу­ет­ся ус­лов­ное М. о. $X$ от­но­си­тель­но $σ$-ал­геб­ры $𝒟 \subseteq 𝒜 $. Так на­зы­ва­ет­ся слу­чай­ная ве­ли­чи­на, обо­зна­чае­мая $\mathbf{E}(X ∣ 𝒟)$, ко­то­рая из­ме­ри­ма от­но­си­тель­но $𝒟$ и та­кая, что $$\int_{A}X(\omega )\mathbf{P}(d\omega )=\int_{A}\mathbf{E}(X ∣ 𝒟)(\omega )\mathbf{P}(d\omega )$$

для лю­бо­го $A∈𝒟$. В слу­чае, ко­гда $𝒟$ яв­ля­ет­ся три­ви­аль­ной $σ$-ал­геб­рой, т. е. со­сто­ит из $Ω$ и $∅$, ус­лов­ное М. о. $\mathbf{E}(Х∣𝒟)$ сов­па­да­ет с $\mathbf{E}Х$, а в слу­чае $𝒟=𝒜$ спра­вед­ли­во ра­вен­ст­во $\mathbf{E} (Х ∣ 𝒟 )= X$

Ис­поль­зу­ет­ся так­же ус­лов­ное М. о. слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$ от­но­си­тель­но слу­чай­ной ве­ли­чины­   $Y$, ко­то­рое обо­зна­ча­ет­ся $\mathbf{E}(Х ∣ Y)$ и оп­ре­де­ля­ет­ся как ус­лов­ное М. о. $X$ от­но­си­тель­но $σ$-ал­геб­ры, по­ро­ж­дён­ной слу­чай­ной ве­ли­чи­ной $Y$.