ЦЕНТРА́ЛЬНАЯ ПРЕДЕ́ЛЬНАЯ ТЕОРЕ́МА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ЦЕНТРА́ЛЬНАЯ ПРЕДЕ́ЛЬНАЯ ТЕОРЕ́МА, общее название ряда предельных теорем теории вероятностей, в которых устанавливается, что при большом числе слагаемых распределения сумм независимых случайных величин близки к нормальному распределению. Эти теоремы являются обобщениями Муавра – Лапласа теоремы. Пусть $X_1$, $X_2$, $...$ – независимые случайные величины со средними значениями $\mathsf{E}X_j=a_j$ и дисперсиями $\mathsf{D}X_j=σ^2_j > 0$. Пусть $S_n=X_1+...+X_n$, $A_n=\mathsf{E}S_n=a_1+...+a_n$ – среднее значение $S_n$ и $B_n^2=\mathsf{D}S_n=σ_1^2+...+σ_n^2$ – её дисперсия. Один из простейших вариантов Ц. п. т. утверждает, что при определённых условиях функции распределения нормированных сумм $S_n^*=\frac{S_n-A_n}{B_n}$, т. е. $F(x)=\mathsf{P}(S_n^* < x)$ при росте $n$ стремятся к функции распределения стандартного нормального закона $Φ(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}}\int_{-\infty}^{x}e^{-u^2/2}du$: $$Fn(x)→Φ(x),\,n→∞,\tag{*}$$ причём эта сходимость равномерна по $-∞ < x < ∞$. Следствием этого является соотношение $\mathsf{P}(X_1+...+X_n < x) - Φ_n(x)→0,\,n→∞,$ где $Φ_n(x)$ – нормальная функция распределения со средним $A_n$ и дисперсией $B_n^2$, т. е. при больших $n$ функции распределения сумм $S_n=X_1+...+X_n$ мало отличаются от нормальных функций распределения с теми же средними и дисперсиями, что у $S_n$. Это позволяет в практич. расчётах заменять функции распределения сумм независимых случайных величин, которые обычно неизвестны (их вычисление связано с очень большими трудностями), нормальными функциями распределения, работа с которыми трудностей не представляет.
Для справедливости (*) достаточно, чтобы для некоторого $δ > 0$ $$\frac{β_{2+δ}(X_1)+...+β_{2+δ}(X_n)}{B^{2+δ}_n} → 0,\,n→∞,$$
Один из важнейших вопросов, связанных с применениями Ц. п. т., – вопрос о точности аппроксимации, которую она гарантирует. Самым известным результатом в этом круге вопросов является теорема Берри – Эссеена, которая, в частности, утверждает, что для одинаково распределённых величин $X_1$, $X_2$, $...$ со средним $a$ и дисперсией $σ^2$ $$ρ(F_n,Φ)=\text{sup}_{-∞ < x < ∞}|F_n(x)-Φ(x)| \leqslant c\frac{β_3}{σ^3\sqrt{n}},$$где $β_3=\mathsf{E}|X_1-a|^3$, $c$ – постоянная, известно, что $c≈0,4$.
Изучаются также асимптотические разложения в Ц. п. т., в которых к нормальному закону добавляются слагаемые, стремящиеся к нулю при $n→∞$. Эти слагаемые позволяют получить более высокую точность аппроксимаций для распределений сумм $X_1$+$...$+$X_n$ по сравнению с точностью аппроксимации в центр. предельной теореме.
Имеются многочисл. обобщения Ц. п. т. на слабозависимые случайные величины, на случайные величины из многомерных и бесконечномерных пространств и на случайные процессы.