ИНТЕГРА́Л
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ИНТЕГРА́Л, одно из важнейших понятий математич. анализа, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функцию по её производной, напр., находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки, с другой – вычислять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. п. При этом различают неопределённый и определённый интегралы (см. Интегральное исчисление). Термин «И.» впервые встречается у Я. Бернулли (1690).
Для непрерывной функции $f(x)$ и чисел $a$ определённый И. с нижним пределом $a$ и верхним пределом $b$ по О. Коши (1823) $$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx \qquad(1)$$вводится следующим образом. Отрезок $[a, \, b]$ произвольным образом разбивается точками $x_0,\, x_1,\, x_2,\, ...,\, x_{n-1},\, x_n$ такими, что $$a=x_0$$ на частичные отрезки $[x_{k–1},\, x_k],\, k =1,\, 2,\, ...,\, n$, и при произвольном выборе точек $ξ_k$ на отрезках $[x_{k–1},\, x_k]$ составляются интегральные суммы $$S_n=f(ξ_1)(x_1-x_0)+f(ξ_2)(x_2-x_1)+ ...+f(ξ_n)(x_n-x_{n-1}). \quad (3)$$ Определённым И. называется предел сумм $S_n$ при стремлении к нулю наибольшей из разностей $x_k-x_{k-1}$. Для непрерывных функций этот предел существует и не зависит ни от разбиений (2), ни от выбора точек $ξ_k$ на частичных отрезках и его можно вычислять по формуле Ньютона – Лейбница $$\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a),$$ где $F$ – любая первообразная функции $f$.
Интеграл Римана
О. Коши применял своё определение И. только к непрерывным функциям. Б. Риман предложил (1853) определять И. (1) как предел сумм (3) при стремлении к нулю наибольшей из разностей $x_k-x_{k–1}$ во всех случаях, когда этот предел однозначно определён, а также исследовал условия существования такого И. Законченную форму этим условиям придал А. Лебег (1902), используя введённое им понятие меры множества. Оказалось, что для интегрируемости в смысле Римана функции $f(x)$ на отрезке $[a,\, b]$ необходимо и достаточно, чтобы функция $f(x)$ была ограничена на отрезке $[a,\, b]$ и чтобы множество её точек разрыва на этом отрезке имело меру Лебега, равную нулю. Для такой функции $f(x)$ справедлива формула Ньютона – Лейбница \int\limits_a^b f(t)dt=F(b)-F(a), где $$F(x)=\int\limits_a^x f(t)dt.$$ При этом в точках непрерывности функции $f$, т. е. всюду на отрезке $[a,\, b]$, кроме, быть может, множества точек, имеющего меру Лебега, равную нулю, справедливо равенство $F´(x)=f(x)$.
Ж. Г. Дарбу предложил (1879) вместо интегральной суммы (3) рассматривать верхнюю сумму $\bar S_n$ и нижнюю сумму $\underline{S}_n$, определяемые равенствами $$\bar S_n=M_1(x_1-x_0)+M_2(x_2-x_1)+...+M_n(x_n-x_{n-1}),$$ $$\underline{S}_n=m_1(x_1-x_0)+m_2(x_2-x_1)+...+m_n(x_n-x_{n-1}),$$ в которых $M_k$ – точная верхняя, а $m_k$ – точная нижняя грани значений функции $f(x)$ на отрезке $[x_{k–1},\, x_k],\, k=1,\, 2,\, …, \,n$. Для любой ограниченной на отрезке $[a,\, b]$ функции $f(x)$ существует точная нижняя грань по всем разбиениям (2) верхних сумм $\bar S_n$, обозначаемая символом $\bar I$ и называемая верхним интегралом Дарбу, и точная верхняя грань по всем разбиениям (2) нижних сумм $\underline{S}_n$, обозначаемая символом $\underline{I}$ и называемая нижним интегралом Дарбу. Необходимым и достаточным условием интегрируемости по Риману ограниченной функции $f(x)$ является равенство $\bar I = \underline{I}$ верхнего и нижнего интегралов Дарбу. При выполнении этого равенства общее значение совпадает с И. в смысле Римана.
Интеграл Лебега
Введённое А. Лебегом понятие меры множества привело (1902) к значит. расширению понятия И. Пусть функция $f(x)$ ограничена на отрезке $[a,\, b]$, т. е. существуют действит. числа $A$ и $B$ такие, что все значения $y=f(x)$ этой функции удовлетворяют неравенствам $A⩽y<{B}$. При произвольном разбиении промежутка $A⩽y<{B}$ точками $y_0,\,y_1,\,y_2,\, ...,\, y_{n-1},\,y_n$, $$ {A}=y_0<{y}_1<{y}_2<... \,<{y}_{n-1}<{y}_n=B$$ на частичные промежутки $[y_{k-1},\,y_k],\, k =1,\, 2,\, …, \,n$, и при произвольном выборе значений $η_k$ таких, что $y_{k–1}⩽η_k<{y}_{k}$, составляется сумма $$S_n=η_1μ(E_1)+η_2μ(E_2)+...+η_nμ(E_n),$$в которой $E_k,\, k= 1,\, 2,\, ...,\, n$ – множество тех значений $x$, для которых $y_{k–1}⩽f(x)<{y}_k$, а $μ(E_k)$ – мера Лебега множества $E_k$. И. (1) в смысле Лебега от ограниченной функции $f(x)$ называется предел сумм $S_n$ при $n \to \infty$ при условии, что наибольшая из разностей $y_k-y_{k–1}$ стремится к нулю.
Для интегрируемости по Лебегу ограниченной функции $f(x)$ необходимо и достаточно, чтобы эта функция являлась измеримой функцией (в смысле Лебега), что эквивалентно существованию мер Лебега всех множеств вида $E_k$. Т. к. функции, обычно использующиеся в математич. анализе, измеримы в смысле Лебега, для ограниченных функций Лебег решил задачу определения И. исчерпывающим образом.
Из существования для ограниченной функции $f(x)$ И., понимаемого в смысле Римана, следует существование И., понимаемого в смысле Лебега, и их равенство. Обратное неверно – среди функций, интегрируемых в смысле Лебега, имеются всюду разрывные и потому неинтегрируемые по Риману функции, напр. функция Дирихле $f(x)$, равная нулю для иррациональных $x$ и равная единице для рациональных $x$.
Для распространения понятия И. в смысле Лебега на неограниченные функции для неограниченной измеримой функции $f(x)$ вводится срезанная функ-ция $[f(x)]_A^B$, равная $f(x)$ при $x$ таких, что $A⩽f(x)⩽B$, равная $A$ при $x$ таких, что $f({x})<{A}$, и равная $B$ при $x$ таких, что $f(x)>B$. И. (1) от неограниченной измеримой функции $f(x)$ определяется как предел понимаемого в смысле Лебега И. (1) от функции $[f(x)]_A^B$, когда $A→∞ , \,B→∞$ независимо друг от друга, если этот предел является конечным. В этом случае функция $f(x)$ называется интегрируемой по Лебегу (или суммируемой) на отрезке $[a,\, b]$.
Если для последовательности интегрируемых по Лебегу на отрезке $[a,\, b]$ функций $f_1(x),\, f_2(x), \,...$ для каждого $ε> 0$ существует число $N$ такое, что для всех $n,\, m>N$ выполняется условие $$\int\limits_a^b\big| f_n(x)-f_m(x)\big| dx<ε,$$ то существует интегрируемая по Лебегу функция $f(x)$, для которой $$\lim_{n \to \infty}\int\limits_a^b\big| f_n(x)-f_m(x)\big| dx=0.$$ Для функций, интегрируемых по Риману, подобное свойство, вообще говоря, не выполняется.
Понятие И. в смысле Лебега обобщается и на случай И. по полупрямой и всей бесконечной прямой. После таких обобщений теория И. в смысле Лебега охватывает все случаи абсолютно сходящихся несобственных интегралов.
Общность, достигнутая при введении И. в смысле Лебега, существенна для мн. разделов математики и её приложений. Напр., только используя И. в смысле Лебега, можно установить изоморфизм двух гильбертовых пространств, пространства $L_2[a,\, b]$, элементами которого являются все функции $f(x)$, для которых существуют И. $\int_a^b \bigm|f(x) \bigm| ^2 dx$, и пространства $l_2$, элементами которого являются все последовательности $\{x_1,\, x_2,\, …\}$, для которых сходится ряд $\sum_{k=1}^{\infty} \bigm|x_k \bigm|^2$. Указанный изоморфизм устанавливает связь между волновой механикой Э. Шрёдингера и матричной механикой В. Гейзенберга.
Интеграл Стилтьеса
В 1894 Т.Стилтьесом было дано др. обобщение И. в смысле Римана. Пусть $f(x)$ – непрерывная на отрезке $[a,\, b]$ функция действительной переменной $x$, а функция $V(x)$ ограниченна и монотонна (т. е. либо не убывает, либо не возрастает) на этом отрезке. Для произвольного разбиения отрезка $[a,\, b]$ точками (2) и произвольного выбора точек $ξ_k$ на частичных отрезках $[x_{k–1},\, x_k]$ вместо суммы (3) составляется сумма $$S_n=f(ξ_1)[V(x_1)-V(x_0)]+ f(ξ_2)[V(x_2)-V(x_1)]+... + f(ξ_n)[V(x_n)-V(x_{n-1})].$$Для непрерывной функции $f(x)$ предел сумм $S_n$ при стремлении к нулю наибольшей из разностей $x_k–x_{k–1}$ обозначается символом $$\int\limits _a^b f(x)dV(x) \qquad(4)$$ и называется И. в смысле Стилтьеса (или Римана – Стилтьеса) от функции $f(x)$ относительно функции $V(x)$ (на отрезке $[a,\, b]$). При этом $V(x)$ называется интегрирующей функцией. И. в смысле Стилтьеса (4) существует и в случае, когда ограниченная интегрирующая функция $V(x)$, не будучи монотонной, представима в виде разности двух ограниченных монотонных функций $V_1(x)-V_2(x)$ (т. е. является функцией ограниченной вариации, см. Вариация функции). Если интегрирующая функция $V(x)$ имеет на отрезке $[a,\, b]$ ограниченную интегрируемую по Риману производную $V´ (x)$, то И. в смысле Стилтьеса (4) сводится к И. в смысле Римана по формуле $$\int\limits_a^b f(x)dV(x)=\int\limits_a^b f(x)V'(x)dx.$$ В частности, при $V(x)=x+C$ И. в смысле Стилтьеса превращается в обычный И. в смысле Римана. Рассматривается также интеграл Лебега – Стилтьеса.
Дальнейшие обобщения
Обобщения понятия И., данные Т. Стилтьесом и А. Лебегом, в дальнейшем удалось объединить и перенести на интегрирование по любым измеримым множествам в многомерных пространствах. Такое обобщение охватывает классич. кратные интегралы.
Потребности теории вероятностей, теории динамич. систем, спектральной теории дифференциальных операторов привели к понятию абстрактного интеграла Лебега, основанному на общих понятиях теории меры.
Пусть $X$ – пространство, в котором выделена система $\mathscr B$ его подмножеств, обладающая свойством замкнутости по отношению к обычным теоретико-множественным операциям, производимым в конечном или счётном числе (т. е. $\mathscr B$ является $σ$-алгеброй), $μ$ – заданная на $\mathscr B$ конечная мера.
Сначала определяется И. по пространству $X$ от $\mathscr B$ – измеримой кусочно постоянной функции $y=f(x)$, т. е. функции, принимающей конечный или счётный набор значений $y_1,\, y_2,…$ соответственно на попарно непересекающихся множествах $A_1,\, A_2,…\,∈ \mathscr B$, объединение которых есть $X$. Он определяется как сумма ряда $\sum_{k=1}^{\infty} y_k μ(A_k)$, при условии, что этотряд является абсолютно сходящимся, и обозначается символом $\int_X f(x)μ(dx)$. Для функции $y=f(x)$ общего вида интегрируемость и сам И. определяются с помощью некоторого предельного перехода от указанных кусочно постоянных функций. Если $A$ – измеримое множество, т. е. $A∈\mathscr B$, функция $Y_A(x)=1$ для $x∈A$, и $Y_A(x)=0$ для $x∉A$, то И. от $f(x)$ по множеству $A$ определяется равенством $$\int_A f(x)μ(dx)=\int_X f(x)Y_A(x)μ(dx).$$ При фиксированных $μ$ и $A$ И. от $f$ может рассматриваться как линейный функционал; при фиксированной $f$ И., как функция множества $A$, является счётно аддитивной функцией.
Все приведённые выше обобщения понятия И. таковы, что функции $f$ и $∣f∣$ оказываются интегрируемыми или неинтегрируемыми одновременно.
А. Данжуа (1912) и нем. математик О. Перрон (1914) ввели более общий процесс интегрирования, чем лебеговский, который полностью решает задачу восстановления функции по её точной конечной производной. Дальнейшие расширения понятия И. были независимо предложены А. Данжуа (1916) и А. Я. Хинчиным (1916). О др. обобщениях понятия И. см. в ст. Несобственный интеграл.