НЕСО́БСТВЕННЫЙ ИНТЕГРА́Л
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
НЕСО́БСТВЕННЫЙ ИНТЕГРА́Л, обобщение классич. понятия интеграла на случай неограниченных функций и функций, заданных на бесконечном промежутке интегрирования. Определённый интеграл как предел интегральных сумм Римана может существовать (иметь определённое конечное значение) лишь для ограниченных функций, заданных на конечном промежутке. Поэтому, если промежуток интегрирования или интегрируемая функция не ограничены, для определения интеграла требуется ещё один предельный переход, получающиеся при этом интегралы называют несобственными.
Если для некоторого числа $a$ функция $f(x)$ интегрируема на любом конечном отрезке $[a, b], b > a$, и если существует$$\lim_{b\rightarrow \infty}\int_a^bf(x)dx,$$то его называют Н. и. функции $f(x)$ на промежутке $[a, ∞)$ и обозначают$$\int_a^\infty f(x)dx.$$В этом случае говорят, что Н. и. сходится. Когда этот предел, а значит и Н. и. не существует, иногда говорят, что Н. и. расходится. Напр. $\int_1^\infty x^{-\gamma}dx$, сходитсяпри $γ > 1$ и расходится при $γ⩽1$. Аналогично определяют Н. и. на промежутке $(-∞, b]$. Н. и. $\int_{-\infty}^\infty f(x)dx$ определяют как предел (если он существует) величин $\int_a^bf(x)dx$, когда $a→-∞, b→∞$ независимо друг от друга.
Если функция $f(x)$, заданная на отрезке $[a, b]$, не ограничена в окрестности точки $a$, но интегрируема на любом отрезке $[a+\varepsilon,b],\; 0< \varepsilon < b-a,$ и существует$$\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{a+\varepsilon}^bf(x)dx ,$$то его называют Н. и. функции $f(x)$ на $[a, b]$ и записывают обычным образом как$$\int_a^bf(x)dx.$$
Аналогично поступают, если $f(x)$ не ограничена в окрестности точки $b$. Если функция $f(x)$ не ограничена в окрестности точки $c,\; a< c < b,$ то Н. и. функции $f(x)$ по отрезку $[a, b]$ называется предел (если он существует) величин$$\int_a^{c-\varepsilon }f(x)dx + \int_{c+\delta }^bf(x)dx,$$где $ε,\; 0< ε< c-a,$ и $δ,\; 0< δ< b-c,$ стремятся к нулю независимо друг от друга.
Если существует Н. и. $\int_a^\infty |f(x)|dx$ или $\int_a^b |f(x)|dx,$ то говорят, что Н. и. $\int_a^bf(x)dx$ абсолютно сходится. Если же последние интегралы сходятся, но интегралы от функции $|f(x)|$ расходятся, то Н. и. $\int_a^\infty f(x)dx$ или $\int_a^b f(x)dx$ называют условно сходящимися. Примеры таких интегралов (с верхним пределом интегрирования $∞$) см. в ст. интегральные синус и косинус.
Задачи, приводящие к Н. и., рассматривались Э. Торричелли и П. Ферма в 1644. Точные определения Н. и. даны О. Коши (1823). Различать условно и абсолютно сходящиеся Н. и. стали после работ Дж. Стокса и П. Дирихле (1854).
Н. и. имеют важное значение во многих областях математики и её приложений. В теории специальных функций одним из осн. способов изучения является их представление в виде Н. и., зависящих от параметра, напр. гамма-функция $\Gamma (\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}dx$ (см. Эйлеровы интегралы). К Н. и. относится и Фурье интеграл, а также интегралы, встречающиеся в др. интегральных преобразованиях. Решения краевых задач математич. физики записываются в виде Н. и. с неограниченными подынтегральными функциями. В теории вероятностей часто используется Н. и. $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}dx=\sqrt{2\pi}$, в теории дифракциисвета – Н. и. $\int_0^\infty \sin x^2dx= 2^{-1}\sqrt{\pi /2}$.
В ряде задач оказывается полезным понятие гл. значения расходящегося Н. и. Так называется число$$\lim_{c \rightarrow \infty}\int_{-c}^cf(x)dx,$$если этот предел существует; его обозначают$$\text {V. p.}\;\int_{-\infty}^\infty f(x)dx.$$Так, $\text{V.p.}\;\int_{-\infty}^\infty\frac{xdx}{1+x^2}=0$. Аналогично определяется гл. значение Н. и. от неограниченной функции (см. Интегральный логарифм).