ИЗМЕРИ́МАЯ ФУ́НКЦИЯ

$f(x)$ИЗМЕРИ́МАЯ ФУ́НКЦИЯ, за­дан­ная на из­ме­ри­мом по Ле­бе­гу (см. Ме­ра мно­же­ст­ва) мно­же­ст­ве $E$ дей­ст­вит. чи­сел функ­ция $f(x)$, при­ни­маю­щая дей­ст­вит. зна­че­ния, та­кая, что для ка­ж­до­го дей­ст­вит. $t$ из­ме­ри­мо по Ле­бе­гу мно­же­ст­во $E_t$ то­чек $x$ из $E$, для ко­то­рых $ f(x)\leqslant t$. Из­ме­ри­мы­ми яв­ля­ют­ся сум­ма, раз­ность, про­из­ве­де­ние и ча­ст­ное И. ф., а так­же пре­дел по­сле­до­ва­тель­но­сти из­ме­ри­мой функ­ции.

Из­ме­ри­мость ха­рак­те­ри­зу­ет тео­ре­ма Лу­зи­на (1913) о $C$-свой­ст­ве: из­ме­ри­мы­ми яв­ля­ют­ся те и толь­ко те функ­ции, ко­то­рые мо­гут быть сде­ла­ны не­пре­рыв­ны­ми по­сле из­ме­не­ния их зна­че­ний на мно­же­ст­ве сколь угод­но ма­лой ме­ры.

И. ф. на про­стран­ст­вах $X$ бо­лее об­щей при­ро­ды оп­ре­де­ля­ют­ся от­но­си­тель­но вы­бран­ной сис­те­мы $\mathscr{A} $ из­ме­ри­мых под­мно­жеств мно­же­ст­ва $X$. При ес­те­ствен­ных ус­ло­ви­ях на сис­те­му $\mathscr{A} $ (ко­гда $\mathscr{A} $eсть $σ$-ал­геб­ра) функ­ция $f$ на­зы­ва­ет­ся из­ме­ри­мой, ес­ли мно­же­ст­ва ви­да $E_t$ из­ме­ри­мы при всех $t$. В ве­ро­ят­но­стей тео­рии слу­чай­ны­ми ве­ли­чи­на­ми на­зы­ва­ют­ся И. ф., ото­бра­жаю­щие из­ме­ри­мые про­стран­ст­ва на дей­ст­вит. пря­мую, ко­гда из­ме­ри­мые мно­же­ст­ва $\mathscr{A} $ пред­став­ля­ют со­бой об­ласть оп­ре­де­ле­ния не­ко­то­ро­го рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей.