Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js
Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

МОМЕ́НТ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 20. Москва, 2012, стр. 706-707

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:


    Книжная версия:



    Электронная версия:

Авторы: А. В. Прохоров

МОМЕ́НТ случайной величины, чи­сло­вая ха­рак­те­ри­сти­ка рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей

 >>
. М. по­ряд­ка k,k – на­ту­раль­ное чис­ло, дей­ст­ви­тель­ной слу­чай­ной ве­ли­чи­ны X оп­ре­де­ля­ет­ся как ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние
 >>
 EXk слу­чай­ной ве­ли­чи­ны Xk, ес­ли оно су­ще­ст­ву­ет. Ес­ли F(x) – функ­ция рас­пре­де­ле­ния слу­чай­ной ве­ли­чи­ны X, то EXk=xkdF(x) при ус­ло­вии, что ин­те­грал схо­дит­ся аб­со­лют­но. В ча­ст­но­сти, ес­ли X при­ни­мает зна­че­ния x1,x2,... с ве­ро­ят­но­стя­ми p1,p2,..., то EXk=k=1xkpkпри ус­ло­вии, что ряд схо­дит­ся аб­со­лют­но; ес­ли рас­пре­де­ле­ние X име­ет плот­ность p(x), то EXk=xkp(x)dx при ус­ло­вии, что ин­те­грал схо­дит­ся аб­со­лют­но.

Ве­ли­чи­на E(Xa)k на­зы­ва­ет­ся мо­мен­том по­ряд­ка k от­но­си­тель­но aE(XEX)k – цен­траль­ным мо­мен­том по­ряд­ка k. Цен­траль­ный М. 2-го по­ряд­ка E(XEX)2 на­зы­ва­ет­ся дис­пер­си­ей

 >>
и обо­зна­ча­ет­ся DX. Ве­ли­чи­на E|X|k,k – по­ло­жи­тель­ное чис­ло, на­зы­ва­ет­ся аб­со­лют­ным мо­мен­том слу­чай­ной ве­ли­чи­ны X по­ряд­ка k. По оп­ре­де­ле­нию счи­та­ет­ся, что М. и аб­со­лют­ный М. ну­ле­во­го по­ряд­ка лю­бой слу­чай­ной ве­ли­чи­ны рав­ны еди­ни­це.

Для аб­со­лют­ных мо­мен­тов спра­вед­ли­во не­ра­вен­ст­во Ля­пу­но­ва (\mathsf E |X|^s)^{1/s}{⩽}(\mathsf E|X|^k)^{1/k}, при 0{<}s{<}k, по­лу­чен­ное А. М. Ляпу­но­вым

 >>
­ (1900), из ко­то­ро­го сле­ду­ет, в част­но­сти, что из су­щест­во­вания мо­мен­та по­ряд­ка k сле­ду­ет су­щест­во­ва­ние всех мо­мен­тов мень­ших по­ряд­ков.

М. по­ряд­ка k со­вме­ст­но­го (мно­го­мер­но­го) рас­пре­де­ле­ния слу­чай­ных ве­ли­чин X_1,...,X_n оп­ре­де­ля­ет­ся как \mathsf E(X _1^{k_1} ...X_n^{k_n}), где k_i, i=1,...,n, – не­от­ри­ца­тель­ные целые чис­ла, k_1+...+k_n=k, и на­зы­ва­ет­ся сме­шан­ным мо­мен­том по­ряд­ка k, а \mathsf E(X_1-\mathsf EX_1)^{k_1}...(X_n-\mathsf EX_n)^{k_n} – цен­траль­ным сме­шан­ным мо­мен­том по­ряд­ка k. Сме­шан­ный М. \mathsf E(X_1-\mathsf EX_1)(X_2-\mathsf EX_2) на­зы­ва­ет­ся ко­ва­риа­ци­ей

 >>
и слу­жит од­ной из осн. ха­рак­те­ри­стик за­ви­си­мо­сти ме­ж­ду слу­чай­ны­ми ве­ли­чи­на­ми.

Ес­ли из­вест­ны М. рас­пре­де­ле­ния, то мож­но сде­лать не­ко­то­рые ут­вер­жде­ния о ве­ро­ят­но­стях от­кло­не­ния слу­чай­ной ве­ли­чи­ны от её ма­те­ма­тич. ожи­да­ния в тер­ми­нах не­ра­венств; наи­бо­лее из­вест­ны Че­бы­ше­ва не­ра­вен­ст­во

 >>
 \mathsf P \{ |X-\mathsf EX|{⩾}ε \} {⩽} \frac{\mathsf D X}{ε^2}, \qquad ε{>}0, и его обоб­ще­ния. Зна­че­ния мо­мен­тов слу­чай­ных ве­ли­чин вхо­дят в фор­му­ли­ров­ки мн. ут­вер­жде­ний тео­рии ве­ро­ят­но­стей.

За­да­ча, со­стоя­щая в оп­ре­де­ле­нии рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей по­сле­до­ва­тель­но­стью его М., но­сит назв. про­бле­мы мо­мен­тов. Эта за­да­ча впер­вые рас­смат­ри­ва­лась П. Л. Че­бы­ше­вым

 >>
(1874) в свя­зи с ис­сле­до­ва­ния­ми по пре­дель­ным тео­ре­мам тео­рии ве­ро­ят­но­стей. Для то­го что­бы рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей слу­чай­ной ве­ли­чи­ны од­но­знач­но оп­ре­де­ля­лось свои­ми М. α_k=\mathsf EX^k, k=1,2,..., дос­та­точ­но, напр., вы­пол­не­ния ус­ло­вия Кар­ле­ма­на \sum_{k=1}^\infty (α_{2k})^{-1/(2k)}={\infty}.Од­ним из про­стей­ших при­ме­ров рас­пре­де­ле­ния, ко­то­рое не оп­ре­де­ля­ет­ся од­но­знач­но свои­ми М., яв­ля­ет­ся ло­га­риф­ми­че­ски-нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние
 >>
.

В ма­те­ма­тич. ста­ти­сти­ке для ста­ти­стич. оцен­ки па­ра­мет­ров рас­пре­де­ле­ния слу­жат вы­бо­роч­ные мо­мен­ты (см. Вы­бо­роч­ная характеристика

 >>
).

Лит.: Гне­ден­ко Б. В. Курс тео­рии ве­ро­ят­но­стей. 10-е изд. М., 2010; Ши­ря­ев А. Н. Ве­ро­ят­ность-1. 5-е изд. М., 2011. Кн. 1.

Вернуться к началу