МОМЕ́НТ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
МОМЕ́НТ случайной величины, числовая характеристика распределения вероятностей. М. порядка k,k – натуральное число, действительной случайной величины X определяется как математическое ожидание EXk случайной величины Xk, если оно существует. Если F(x) – функция распределения случайной величины X, то EXk=∞∫−∞xkdF(x) при условии, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если X принимает значения x1,x2,... с вероятностями p1,p2,..., то EXk=∞∑k=1xkpkпри условии, что ряд сходится абсолютно; если распределение X имеет плотность p(x), то EXk=∞∫−∞xkp(x)dx при условии, что интеграл сходится абсолютно.
Величина E(X−a)k называется моментом порядка k относительно a, E(X−EX)k – центральным моментом порядка k. Центральный М. 2-го порядка E(X−EX)2 называется дисперсией и обозначается DX. Величина E|X|k,k – положительное число, называется абсолютным моментом случайной величины X порядка k. По определению считается, что М. и абсолютный М. нулевого порядка любой случайной величины равны единице.
Для абсолютных моментов справедливо неравенство Ляпунова (\mathsf E |X|^s)^{1/s}{⩽}(\mathsf E|X|^k)^{1/k}, при 0{<}s{<}k, полученное А. М. Ляпуновым (1900), из которого следует, в частности, что из существования момента порядка k следует существование всех моментов меньших порядков.
М. порядка k совместного (многомерного) распределения случайных величин X_1,...,X_n определяется как \mathsf E(X _1^{k_1} ...X_n^{k_n}), где k_i, i=1,...,n, – неотрицательные целые числа, k_1+...+k_n=k, и называется смешанным моментом порядка k, а \mathsf E(X_1-\mathsf EX_1)^{k_1}...(X_n-\mathsf EX_n)^{k_n} – центральным смешанным моментом порядка k. Смешанный М. \mathsf E(X_1-\mathsf EX_1)(X_2-\mathsf EX_2) называется ковариацией и служит одной из осн. характеристик зависимости между случайными величинами.
Если известны М. распределения, то можно сделать некоторые утверждения о вероятностях отклонения случайной величины от её математич. ожидания в терминах неравенств; наиболее известны Чебышева неравенство \mathsf P \{ |X-\mathsf EX|{⩾}ε \} {⩽} \frac{\mathsf D X}{ε^2}, \qquad ε{>}0, и его обобщения. Значения моментов случайных величин входят в формулировки мн. утверждений теории вероятностей.
Задача, состоящая в определении распределения вероятностей последовательностью его М., носит назв. проблемы моментов. Эта задача впервые рассматривалась П. Л. Чебышевым (1874) в связи с исследованиями по предельным теоремам теории вероятностей. Для того чтобы распределение вероятностей случайной величины однозначно определялось своими М. α_k=\mathsf EX^k, k=1,2,..., достаточно, напр., выполнения условия Карлемана \sum_{k=1}^\infty (α_{2k})^{-1/(2k)}={\infty}.Одним из простейших примеров распределения, которое не определяется однозначно своими М., является логарифмически-нормальное распределение.
В математич. статистике для статистич. оценки параметров распределения служат выборочные моменты (см. Выборочная характеристика).