ЛОГАРИФМИ́ЧЕСКИ-НОРМА́ЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ
-
Рубрика: Математика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ЛОГАРИФМИ́ЧЕСКИ-НОРМА́ЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ, распределение вероятностей положительной случайной величины $X$, заданное плотностью $$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{(\text{ln}x-a)^2}{2\sigma ^2}},\; x>0,$$где -∞<$a$<∞, $σ>0$ – параметры. Случайная величина $X$ имеет Л.-н. р. с указанной плотностью, если её натуральный логарифм $\text{ln}X$ имеет нормальное распределение с параметрами $a$ и $σ$ (отсюда назв. «Л.-н. р.»), т. е. $a=\textbf{E}\text{ln}X,\; σ^2=\textbf{D}\text{ln}X$. Моменты случайной величины $X$, имеющей Л.-н. р. с параметрами $a$ и $σ$ , выражаются формулой$$\textbf{E}X^k=e^{ka+k^2σ^2/2},$$в частности математич. ожидение и дисперсия $X$ равны $$\textbf{E}X=e^{a+ σ^2/2} \; \text{и}\; \textbf{D}X=e^{2a+σ ^2}(e^{σ^2}-1).$$
Л.-н. р. даёт один из простейших примеров распределения, которое не определяется однозначно своими моментами. Произведение независимых случайных величин с Л.-н. р. вновь имеет Л.-н. р. Из центральной предельной теоремы следует, что при определённых условиях Л.-н. р. является предельным распределением для произведения независимых положительных случайных величин. Л.-н. р. является унимодальным распределением и имеет положительную асимметрию. Л.-н. р. применяется в экономике, биологии, геологии, физике. Напр., Л.-н. р. с хорошим приближением описывает распределение размера частиц при дроблении породы.