ЧЕБЫШЕ́ВА НЕРА́ВЕНСТВО
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ЧЕБЫШЕ́ВА НЕРА́ВЕНСТВО, 1) неравенство для монотонных последовательностей и функций. Ч. н. для конечных последовательностей a1⩽a2⩽...⩽an и b1⩽b2⩽...⩽bn или a1⩾a2⩾...⩾an и b1⩾b2⩾...⩾bn имеет вид (an⩾0, bn⩾0)(n∑k=1ak)(n∑k=1bk)⩽nn∑k=1akbk.В интегральной форме Ч. н. имеет вид (∫baf(x)dx)(∫bag(x)dx)⩽(a−b)∫baf(x)g(x)dx,где f(x)⩾0, g(x)⩾0 и обе функции либо убывают, либо возрастают. Если одна последовательность (функция) убывает, а др. последовательность (функция) возрастает, то знак неравенства в (1) и (2) меняется на противоположный. Неравенства установлены П. Л. Чебышевым (1882).
2) Ч. н. для вероятности отклонения случайной величины от своего математич. ожидания (неравенство Бьенеме – Чебышева), состоит в том, что для любого ε>0 P(|X−a|⩾ε)⩽σ2ε2,или, что то же самое, для любого t>0 P(|X−a|⩾tσ)⩽1t2, где X – случайная величина с математич. ожиданием EX=a и дисперсией DX=σ2. Это неравенство было независимо открыто франц. математиком И. Ж. Бьенеме (1853) и П. Л. Чебышевым (1867). В совр. лит-ре оно чаще называется «Ч. н.», возможно, потому, что с именем Чебышева связано его использование при доказательстве больших чисел закона. При некоторых дополнит. ограничениях точность Ч. н. может быть увеличена: степенная оценка 1/t2 может быть заменена показательной оценкой 2e−t2/4 убывающей с ростом t значительно быстрее.