ЧЕБЫШЕ́ВА НЕРА́ВЕНСТВО

ЧЕБЫШЕ́ВА НЕРА́ВЕНСТВО, 1) не­ра­вен­ст­во для мо­но­тон­ных по­сле­до­ва­тель­но­стей и функ­ций. Ч. н. для ко­неч­ных по­сле­до­ва­тель­но­стей $a_1 ⩽ a_2 ⩽ ... ⩽ a_n$ и $b_1 ⩽ b_2 ⩽ ... ⩽ b_n$ или $a_1 ⩾ a_2 ⩾ ... ⩾ a_n$ и $b_1 ⩾ b_2 ⩾ ... ⩾ b_n$ име­ет вид ($a_n ⩾ 0$, $b_n ⩾ 0$)$$\left( \sum_{k=1}^n a_k \right) \left( \sum_{k=1}^n b_k \right) ⩽ n\sum_{k=1}^n a_k b_k \tag{1}.$$В ин­те­граль­ной фор­ме Ч. н. име­ет вид $$\left( \int_{a}^b f(x)dx \right) \left( \int_{a}^b g(x)dx \right) ⩽ (a-b)\int_{a}^b f(x)g(x)dx, \tag{2}$$где $f(x) ⩾ 0$, $g(x) ⩾ 0$ и обе функ­ции ли­бо убы­ва­ют, ли­бо воз­рас­та­ют. Ес­ли од­на по­сле­до­ва­тель­ность (функ­ция) убы­ва­ет, а др. по­сле­до­ва­тель­ность (функ­ция) воз­рас­та­ет, то знак не­ра­вен­ст­ва в (1) и (2) ме­ня­ет­ся на про­ти­во­по­лож­ный. Не­ра­вен­ст­ва ус­та­нов­ле­ны П. Л. Че­бы­ше­вым (1882).

2) Ч. н. для ве­ро­ят­но­сти от­кло­не­ния слу­чай­ной ве­ли­чи­ны от сво­его ма­те­ма­тич. ожи­да­ния (не­ра­вен­ст­во Бье­не­ме – Че­бы­ше­ва), со­сто­ит в том, что для лю­бо­го $ε > 0$ $$\mathsf{P}(|X-a| ⩾ ε) ⩽ \frac{σ^2}{ε^2},$$или, что то же са­мое, для лю­бо­го $t > 0$ $$\mathsf{P}(|X-a| ⩾ tσ) ⩽ \frac{1}{t^2},$$ где $X$ – слу­чай­ная ве­ли­чи­на с ма­те­ма­тич. ожи­да­ни­ем $\mathsf{E}X=a$ и дис­пер­си­ей $\mathsf{D}X=σ^2$. Это не­ра­вен­ст­во бы­ло не­за­виси­мо от­кры­то франц. ма­те­ма­ти­ком И. Ж. Бье­не­ме (1853) и П. Л. Че­бы­ше­вым (1867). В совр. лит-ре оно ча­ще на­зы­ва­ет­ся «Ч. н.», воз­мож­но, по­то­му, что с име­нем Че­бы­ше­ва свя­за­но его ис­поль­зо­ва­ние при до­ка­за­тель­ст­ве боль­ших чи­сел за­ко­на. При не­ко­то­рых до­пол­нит. ог­ра­ни­че­ни­ях точ­ность Ч. н. мо­жет быть уве­ли­че­на: сте­пен­ная оцен­ка $1/t^2$ мо­жет быть за­ме­не­на по­ка­за­тель­ной оцен­кой $2e^{-t^2/4}$ убы­ваю­щей с рос­том $t$ зна­чи­тель­но бы­ст­рее.