КОВАРИА́ЦИЯ

КОВАРИА́ЦИЯ, чи­сло­вая ха­рак­те­ри­сти­ка со­вме­ст­но­го рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей

двух слу­чай­ных ве­ли­чин $X$ и $Y$ с ко­неч­ны­ми дис­пер­сия­ми D$X$ и D$Y$, она обо­зна­ча­ет­ся $\text {cov} (X, Y)$ и оп­ре­де­ля­ет­ся ра­вен­ст­вом $$\text{cov}(X, Y)=\text E (X-\text{E}X) (Y-\text{E}Y),$$ где $\text E$ обо­зна­ча­ет ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние

 >>

. При этом  $$\text{cov}(X, Y)=\text{cov} (Y, X), \text{cov} (X, X)=\text{D}X$$ Для дис­пер­сии

 >>

 сум­мы слу­чай­ных ве­ли­чин $X$ и $Y$ спра­вед­ли­во ра­вен­ст­во $$\text{D} (X+Y)=\text{D}X+2 \text{cov} (X, Y)+ \text{D}Y.$$ Ес­ли ве­ли­чи­ны $X$, $Y$ не­за­ви­си­мы, то $\text{cov}=(X, Y)=0$. Слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $X$, $Y$, для ко­то­рых $\text{cov} (X, Y)=0$, на­зы­ва­ют­ся не­кор­ре­ли­ро­ван­ны­ми. Из не­кор­ре­ли­ро­ван­но­сти $X$, $Y$, во­об­ще го­во­ря, не сле­ду­ет не­за­ви­си­мость $X$ и $Y$. Для нор­маль­но рас­пре­де­лён­ных слу­чай­ных ве­ли­чин $X$ и $Y$ из не­кор­ре­ли­ро­ван­но­сти сле­ду­ет их не­за­ви­си­мость. По­пар­ная не­кор­ре­ли­ро­ван­ность слу­чай­ных ве­ли­чин $X_1, X_2,…$ яв­ля­ет­ся дос­та­точ­ным ус­ло­ви­ем вы­пол­не­ния боль­ших чи­сел за­ко­на

 >>

 в фор­ме Че­бы­ше­ва: при лю­бом $ε>0$ и $n→∞$  $$P\biggl\{\mid\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}-\frac{\text{E}X_1+\cdots+\text{E}X_n}{n}\mid >\varepsilon\biggr\}\to0,$$ ес­ли дис­пер­сии этих слу­чай­ных ве­ли­чин ог­ра­ни­че­ны од­ной и той же по­сто­ян­ной. С по­мо­щью К. оп­ре­де­ля­ет­ся кор­ре­ля­ции ко­эф­фи­ци­ент

 >>

.

В ма­те­ма­тич. ста­ти­сти­ке оцен­кой К. слу­жит вы­бо­роч­ная К., вы­чис­ляе­мая по фор­му­ле $$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X) (Y_i-\bar Y),$$ где $(X_i, Y_i), i=1,2,… n,$ – не­за­ви­си­мые слу­чай­ные ве­ли­чи­ны, имею­щие то же рас­пре­де­ле­ние, что (X, Y) (вы­бор­ка), а $$\bar X=(X_i+…+X_n)/n,$$ $$\bar Y=(Y_1+…+Y_n)/n$$ – вы­бо­роч­ные сред­ние. Ве­ли­чи­на $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X) (Y_i-\bar Y)$ да­ёт не­сме­щён­ную оцен­ку

ко­ва­риа­ции.