КОРРЕЛЯ́ЦИИ КОЭФФИЦИЕ́НТ

КОРРЕЛЯ́ЦИИ КОЭФФИЦИЕ́НТ, чи­сло­вая ха­рак­те­ри­сти­ка со­вме­ст­но­го рас­пре­де­ле­ния двух слу­чай­ных ве­ли­чин

, ха­рак­те­ри­зую­щая их взаи­мо­связь. К. к. $ρ=ρ(X,Y)$ для слу­чай­ных ве­ли­чин $X$ и $Y$ с ма­те­ма­тич. ожи­да­ния­ми $a_X=\text{E}X$ и $a_Y=\text{E}Y$ и не­ну­ле­вы­ми дис­пер­сия­ми $\sigma_X^2=\text{D}X$ и $\sigma_X^2=\text{D}Y$ оп­ре­де­ля­ет­ся ра­вен­ст­вом $$\rho(X,Y)=\frac{\text{E}(x-a_X)(Y-a_Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$$ К. к. для $X$ и $Y$ сов­па­да­ет с ко­ва­риа­ци­ей

 >>

для ве­ли­чин $(X-a_X)/σ_X$ и $(Y-a_Y)/σ_Y$, на­зы­вае­мых нор­ми­ро­ван­ны­ми. К. к. сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но $X$ и $Y$ и ин­ва­ри­ан­тен от­но­си­тель­но из­ме­не­ния на­ча­ла от­счё­та и мас­шта­ба, т. е. $ρ(X,Y)=ρ(Y,X)$, и для лю­бых чи­сел $b_1, b_2 > 0$, $–\infty \lt c_1$, $c_2<\infty$ спра­вед­ли­во ра­вен­ст­во $ρ(b_1X+c_1, b_2Y+c_2)=ρ(X,Y)$. Аб­со­лют­ная ве­ли­чи­на К. к. не пре­вос­хо­дит еди­ни­цы. К. к. об­ла­да­ет сле­дую­щи­ми свой­ст­ва­ми, ха­рак­те­ри­зую­щи­ми взаи­мо­связь слу­чай­ных ве­ли­чин $X$ и $Y$:

ес­ли ве­ли­чи­ны $X$ и $Y$ не­за­ви­си­мы, то $ρ(X,Y)=0$ (об­рат­ное ут­вер­жде­ние в об­щем слу­чае не­вер­но), о ве­ли­чи­нах, для ко­то­рых $ρ(X,Y)=0$, го­во­рят, что они не­кор­ре­ли­ро­ва­ны;

$∣\rho(X,Y)\!∣=1$ то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда ве­ли­чи­ны $X$ и $Y$ свя­за­ны ли­ней­ной функ­цио­наль­ной за­ви­си­мо­стью.

Труд­ность ин­тер­пре­та­ции К. к. как ме­ры взаи­мо­свя­зи за­клю­ча­ет­ся в том, что ра­вен­ст­во $ρ(X,Y)=0$ мо­жет иметь ме­сто и для за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин, в об­щем слу­чае для не­за­ви­си­мости $X$ и $Y$ не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но ра­вен­ст­во ну­лю их макс. К. к., ко­то­рый оп­ре­де­ля­ет­ся как точ­ная верх­няя грань (по функ­ци­ям $φ$ и $ψ$) К. к. ме­ж­ду слу­чай­ны­ми ве­ли­чи­на­ми $φ(X)$ и $ψ(Y)$. Од­на­ко вы­чис­ле­ние макс. К. к. пред­став­ля­ет со­бой слож­ную за­да­чу. Т. о., К. к. не ис­чер­пы­ва­ет все ви­ды за­ви­си­мо­сти ме­ж­ду слу­чай­ны­ми ве­ли­чи­на­ми, он яв­ля­ет­ся лишь ме­рой их ли­ней­ной свя­зи. Эта ли­ней­ная связь ха­рак­те­ри­зу­ет­ся сле­дую­щим об­ра­зом: ве­ли­чи­на $$\hat Y=\rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(X-a_X)+a_Y$$  да­ёт ли­ней­ное при­бли­же­ние $Y$ с по­мо­щью $X$, наи­луч­шее в том смыс­ле, что $$\text{E}(Y-\hat Y)^2=\min\limits_{c,d}\text{E}(Y-cX-d)^2$$  (см. так­же Рег­рес­си­он­ный ана­лиз

).