СЛУЧА́ЙНАЯ ВЕЛИЧИНА́

СЛУЧА́ЙНАЯ ВЕЛИЧИНА́, ве­ли­чи­на, при­ни­маю­щая, в за­ви­си­мо­сти от слу­чая, те или иные зна­че­ния с оп­ре­де­лён­ны­ми ве­ро­ят­но­стя­ми. Напр., чис­ло оч­ков, вы­па­даю­щее на верх­ней гра­ни иг­раль­ной кос­ти, есть С. в., при­ни­маю­щая зна­че­ния 1, 2,..., 6 с ве­ро­ят­но­стя­ми ¹/₆ ка­ж­дое. Стро­гое ма­те­ма­тич. оп­ре­де­ле­ние С. в. как из­ме­ри­мой функ­ции, за­дан­ной на не­ко­то­ром ве­ро­ят­но­ст­ном про­стран­ст­ве, да­ёт­ся в рам­ках об­ще­при­ня­той ак­сио­ма­ти­ки ве­ро­ят­но­стей тео­рии: С. в. $X$ на ве­ро­ят­но­ст­ном про­стран­ст­ве ($Ω$, $𝒜$,$\mathsf{P}$) на­зы­ва­ет­ся лю­бая од­но­знач­ная дей­ст­вит. функ­ция $X(ω)$, оп­ре­де­лён­ная для всех $ω∈Ω$, та­кая, что для лю­бо­го дей­ст­вит. чис­ла $x$ мно­же­ст­во $\{ω:X(ω) < x\}∈𝒜$, т. е. яв­ля­ет­ся слу­чай­ным со­бы­ти­ем. Т. о., в тео­рии ве­ро­ят­но­стей «за­ви­си­мость от слу­чая» по­ни­ма­ет­ся сле­дую­щим об­ра­зом: при осу­ще­ст­в­ле­нии (реа­ли­за­ции) ком­плек­са ус­ло­вий $S$, не­об­хо­ди­мо­го для про­ве­де­ния экс­пе­ри­мен­та, по­яв­ля­ет­ся (реа­ли­зу­ет­ся) один и толь­ко один эле­мен­тар­ный ис­ход $ω$ и все С. в. при­ни­ма­ют кон­крет­ные чи­сло­вые зна­че­ния $X(ω)$. Эти зна­че­ния на­зы­ва­ют­ся реа­ли­за­ция­ми С. в. X.

Для ка­ж­дой С. в. $X$ оп­ре­де­ле­на функ­ция рас­пре­де­ле­ния $$F_X(x)=\mathsf{P}(X < x)=\mathsf{P}(\{ω:X(ω) < x\}),$$ $–∞ < x < ∞$. Функ­ция рас­пре­де­ле­ния лю­бой С. в. $X$ не убы­ва­ет, не­пре­рыв­на сле­ва, $\lim_{x→–∞}F_X(x)=F_X(–∞)=0$ и $lim_{x→∞}F_X(x)=F_X(∞)=1$. Об­рат­но, для лю­бой не­убы­ваю­щей и не­пре­рыв­ной сле­ва функ­ции $F$, та­кой, что $F(–∞)=0$ и $F(∞)=1$, су­ще­ст­ву­ют ве­ро­ят­но­ст­ное про­стран­ст­во и из­ме­ри­мая функ­ция $X$ на нём, та­кая, что $F_X(x)≡F(x)$. Со­от­вет­ст­вие ме­ж­ду С. в. и их функ­ция­ми рас­пре­де­ле­ния не яв­ля­ет­ся вза­им­но од­но­знач­ным. Напр., С. в. $X$ – чис­ло оч­ков, вы­пав­шее на иг­раль­ной кос­ти, и С. в. $Y=7-X$ име­ют од­ну и ту же функ­цию рас­пре­де­ле­ния. Функ­ция рас­пре­де­ле­ния – важ­ней­шая ха­рак­те­ри­сти­ка слу­чай­ной ве­ли­чи­ны (см. так­же Рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей). Изу­че­ние имен­но функ­ций рас­пре­де­ле­ния тех или иных С. в. со­став­ля­ет пред­мет мн. за­дач тео­рии ве­ро­ят­но­стей, см. Пре­дель­ные тео­ре­мы.

Для ка­ж­до­го ве­ро­ят­но­ст­но­го про­стран­ст­ва мно­же­ст­во слу­чай­ных ве­ли­чин замк­ну­то от­но­си­тель­но ариф­ме­тич. опе­ра­ций, т. е. сум­ма, раз­ность, про­из­ве­де­ние и от­но­ше­ние из­ме­ри­мых функ­ций яв­ля­ют­ся из­ме­ри­мы­ми функ­ция­ми; при оп­ре­де­ле­нии от­но­ше­ния $X/Y$ нуж­но от­дель­но до­оп­ре­де­лить его на мно­же­ст­ве тех ω, где зна­ме­на­тель об­ра­ща­ет­ся в нуль, обыч­но от­но­ше­ние $X/Y$ рас­смат­ри­ва­ет­ся для тех С. в. $Y$, для ко­то­рых $\mathsf{P}(Y=0)=0$, в этом слу­чае на ука­зан­ном мно­же­ст­ве то­чек ω его мож­но оп­ре­де­лить как угод­но, напр. по­ло­жив его рав­ным ну­лю.

По­сто­ян­ные функ­ции $X(ω)≡c$ яв­ля­ют­ся С. в. на лю­бом ве­ро­ят­но­ст­ном про­стран­ст­ве, т. к. дос­то­вер­ное со­бы­тие $Ω$ и не­воз­мож­ное со­бы­тие $∅$ вхо­дят в лю­бую $σ$-ал­геб­ру; та­кие С. в. час­то на­зы­ва­ют вы­ро­ж­ден­ны­ми, обыч­но они по­яв­ля­ют­ся в ка­че­ст­ве пре­дель­ных для тех или иных по­сле­до­ва­тель­но­стей слу­чай­ных ве­ли­чин.

Для ка­ж­до­го ве­ро­ят­но­ст­но­го про­стран­ст­ва мно­же­ст­во С. в. замк­ну­то от­но­си­тель­но пре­дель­но­го пе­ре­хо­да, т. е. ес­ли по­сле­до­ва­тель­ность из­ме­ри­мых функ­ций $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ та­ко­ва, что при $n→∞$ $$X_n(ω)→X(ω)\,для\,лю­бо­го\,ω∈Ω,\tag{*}$$ то $X(ω)$ яв­ля­ет­ся из­ме­ри­мой функ­ци­ей, т. е. слу­чай­ной ве­ли­чи­ной.

Мно­гие во­про­сы тео­рии ве­ро­ят­но­стей свя­за­ны с изу­че­ни­ем схо­ди­мо­сти по­сле­до­ва­тель­но­стей С. в. По­то­чеч­ная схо­димость (*) обыч­но яв­ля­ет­ся слиш­ком силь­ной, по­это­му ис­поль­зу­ют­ся бо­лее сла­бые ви­ды схо­ди­мо­сти, сре­ди ко­то­рых схо­ди­мость с ве­ро­ят­но­стью 1 (поч­ти на­вер­ное, п. н.) и схо­ди­мость по ве­ро­ят­но­сти. Го­во­рят, что по­сле­до­ва­тель­ность С. в. $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ схо­дит­ся с ве­ро­ят­но­стью 1 к С. в. $X$, ес­ли при $n→∞$ $$\mathsf{P}(\{ω:X_n(ω)→X(ω)\})=1.$$ Эта схо­ди­мость обо­зна­ча­ет­ся $\require{AMScd}$ \begin{CD} X_n @>{\text{п. н.}}>> X. \end{CD}Го­во­рят, что по­сле­до­ва­тель­ность С. в. $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ схо­дит­ся по ве­ро­ят­но­сти к С. в. $X$, ес­ли при $n→∞$ $$\mathsf{P}(\{ω:∣X_n(ω)-X(ω)∣ >  ε\})→0$$ для лю­бо­го $ε > 0$. Эта схо­ди­мость обо­зна­ча­ет­ся $\require{AMScd}$ \begin{CD} X_n @>{\mathsf{P}}>> X. \end{CD}

Ес­ли по­сле­до­ва­тель­ность С. в. $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ схо­дит­ся с ве­ро­ят­но­стью 1 к С. в. $X$, то она схо­дит­ся к $X$ и по ве­ро­ят­но­сти. Ес­ли по­сле­до­ва­тель­ность С. в. $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ схо­дит­ся по ве­ро­ят­но­сти к С. в. $X$, то из неё мож­но из­влечь под­пос­ле­до­ва­тель­ность, схо­дя­щую­ся к $X$ с ве­ро­ят­но­стью 1. Су­ще­ст­ву­ют по­сле­до­ва­тель­но­сти, схо­дя­щие­ся по ве­ро­ят­но­сти к пре­де­лу, та­кие, что для лю­бо­го фик­си­ро­ван­но­го $ω∈Ω$ по­сле­до­ва­тель­ность $X_n(ω)$ пре­де­ла не име­ет. Ес­ли по­сле­до­ва­тель­ность С. в. $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ схо­дит­ся по ве­ро­ят­но­сти к С. в. $X$, то для лю­бой не­пре­рыв­ной ог­ра­ни­чен­ной функ­ции $f(x)$ ма­те­ма­тич. ожи­да­ния $\mathsf{E}f(X_n)→\mathsf{E}f(x)$.

Зна­че­ния­ми С. в. мо­гут быть не толь­ко дей­ст­вит. чис­ла, но и век­то­ры, ком­плекс­ные чис­ла и др. объ­ек­ты.