СЛУЧА́ЙНОЕ СОБЫ́ТИЕ

СЛУЧА́ЙНОЕ СОБЫ́ТИЕ, со­бы­тие, ко­то­рое мо­жет про­изой­ти или не про­изой­ти в за­ви­си­мо­сти от слу­чая. Напр., при бро­са­нии иг­раль­ной кос­ти мо­гут про­изой­ти или не про­изой­ти С. с. «чис­ло оч­ков на верх­ней гра­ни чёт­но», «чис­ло оч­ков на верх­ней гра­ни рав­но 5», «чис­ло оч­ков на верх­ней гра­ни крат­но трём». В ве­ро­ят­но­стей тео­рии счи­та­ет­ся, что ка­ж­до­му слу­чай­но­му яв­ле­нию (ис­пы­та­нию, экс­пе­ри­мен­ту со слу­чай­ны­ми ис­хо­да­ми) мож­но со­пос­та­вить ве­ро­ят­но­ст­ное про­стран­ст­во ($Ω$,$𝒜$,$\mathsf{P}$), где $Ω=\{ω\}$ – мно­же­ст­во эле­мен­тар­ных ис­хо­дов (эле­мен­тар­ных со­бы­тий), $𝒜$ – со­во­куп­ность под­мно­жеств $Ω$, яв­ляю­щая­ся $σ$-ал­геб­рой, и $\mathsf{P}$ – рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей на $𝒜$. Эле­мен­ты мно­же­ст­ва $𝒜$ на­зы­ва­ют­ся со­бы­тия­ми или С. с. При осу­ще­ст­в­ле­нии (реа­ли­за­ции) ком­плек­са ус­ло­вий $S$, не­об­хо­ди­мо­го для про­ве­де­ния экс­пе­ри­мен­та (напр., бро­са­ние иг­раль­ной кос­ти), по­яв­ля­ет­ся (реа­ли­зу­ет­ся) один и толь­ко один эле­мен­тар­ный ис­ход $ω$. Ес­ли реа­ли­зо­вал­ся эле­мен­тар­ный ис­ход $ω$, то про­изош­ли (реа­ли­зо­ва­лись) все со­бы­тия $A∈𝒜$, для ко­то­рых $ω∈A$, и не про­изош­ли со­бы­тия $A∈𝒜$, для ко­то­рых $ω∉A$. Напр., при бро­са­нии иг­раль­ной кос­ти мно­же­ст­во $Ω$ со­сто­ит из шес­ти эле­мен­тар­ных ис­хо­дов $ω_1$,$...$,$ω_6$ ($ω_j$ – на верх­ней гра­ни $j$ оч­ков), а С. с., о ко­то­рых го­во­ри­лось вы­ше, суть мно­же­ст­ва {$ω_2$,$ω_4$,$ω_6$}, {$ω_5$}, {$ω_3$,$ω_6$}. Т. о., ре­аль­ные С. с. ото­жде­ст­в­ля­ют­ся с под­мно­же­ст­ва­ми $Ω$. Опе­ра­ци­ям над ре­аль­ны­ми С. с. со­от­вет­ст­ву­ют тео­ре­ти­ко-мно­же­ст­вен­ные опе­ра­ции над эле­мен­та­ми мно­же­ст­ва $𝒜$. Так, не­на­сту­п­ле­ние С. с. $A$ – это С. с. $Ω\setminus A$; объ­е­ди­не­ние С. с. $A$ и $B$ (про­изош­ло хо­тя бы од­но из этих С. с.) – это С. с. $A∪B$; пе­ре­се­че­ние С. с. $A$ и $B$ (од­но­вре­мен­ное на­сту­п­ле­ние $A$ и $B$, со­вме­ще­ние $A$ и $B$) – это С. с. $A∩B$. С. с. $A$ и $B$ на­зы­ва­ют не­со­вме­ст­ны­ми, ес­ли мно­же­ст­ва $A$ и $B$ не со­дер­жат об­щих эле­мен­тов $ω$, т. е. $A∩B=∅$. Ес­ли со­бы­тие $A$ вле­чёт со­бы­тие $B$, т. е. вся­кий раз, ко­гда про­ис­хо­дит $A$, про­ис­хо­дит и $B$, то это оз­на­ча­ет, что $A⊂B$. В мно­же­ст­во $𝒜$ С. с. вклю­ча­ют всё $Ω$, ко­то­рое на­зы­ва­ют дос­то­вер­ным со­бы­ти­ем, и пус­тое мно­же­ст­во $∅$, ко­то­рое на­зы­ва­ют не­воз­мож­ным со­бы­ти­ем. Для то­го что­бы опе­ра­ции над со­бы­тия­ми не вы­во­ди­ли за пре­де­лы мно­же­ст­ва со­бы­тий, не­об­хо­ди­мо, что­бы мно­же­ст­во С. с. $𝒜$ бы­ло ал­геб­рой мно­жеств, а для то­го что­бы опе­ра­ции над С. с. в счёт­ном чис­ле не вы­во­ди­ли за пре­де­лы мно­же­ст­ва С. с., нуж­но по­тре­бо­вать, что­бы мно­же­ст­во $𝒜$ бы­ло $σ$-ал­геб­рой.

В эле­мен­тар­ном слу­чае, ко­гда мно­же­ст­во $Ω$ со­сто­ит из ко­неч­но­го чис­ла $n$ эле­мен­тар­ных ис­хо­дов, в ка­че­ст­ве мно­же­ст­ва С. с. $𝒜$ мож­но взять мно­же­ст­во всех под­мно­жеств $Ω$. Это мно­же­ст­во яв­ля­ет­ся $σ$-ал­геб­рой и со­сто­ит из $2^n$ со­бы­тий (вклю­чая дос­то­вер­ное и не­воз­мож­ное со­бы­тия). В об­щем слу­чае при­хо­дит­ся ис­поль­зо­вать $σ$-ал­геб­ры, ко­то­рые су­ще­ст­вен­но бед­нее мно­же­ст­ва всех под­мно­жеств $Ω$. Так, в экс­пе­ри­мен­те «бро­са­ние точ­ки нау­да­чу на от­ре­зок [0,1]» ес­те­ст­вен­но взять этот от­ре­зок в ка­че­ст­ве Ω и ес­те­ст­вен­но счи­тать, что ве­ро­ят­но­сти по­пасть в от­рез­ки [$a$,$b$], $0 ⩽ a < b ⩽ 1$, рав­ны дли­нам этих от­рез­ков и не за­ви­сят от их по­ло­же­ний на [0,1]. Ока­зы­ва­ет­ся, что так оп­ре­де­лён­ную ве­ро­ят­ность нель­зя про­дол­жить на со­во­куп­ность всех под­мно­жеств от­рез­ка [0,1], и при­хо­дит­ся ог­ра­ни­чи­вать­ся, напр., наи­мень­шей σ -ал­геб­рой, со­дер­жа­щей все от­рез­ки [$a$,$b$], $0 ⩽ a < b ⩽ 1$, на ко­то­рую ука­зан­ную ве­ро­ят­ность про­дол­жить мож­но. Ука­зан­ная $σ$-ал­геб­ра (т. н. $σ$-ал­геб­ра бо­ре­лев­ских под­мно­жеств от­рез­ка [0,1]) дос­та­точ­но бо­га­та; в ча­ст­но­сти, она со­дер­жит все ин­тер­ва­лы из от­рез­ка [0,1], счёт­ные объ­е­ди­не­ния ин­тер­ва­лов и т. д., и её хва­та­ет для ре­ше­ния всех за­дач, свя­зан­ных с ука­зан­ным экс­пе­ри­мен­том.

Лит. см. при ст. Ве­ро­ят­но­стей тео­рия.