ХАРАКТЕРИСТИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ

ХАРАКТЕРИСТИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$, ма­те­ма­тич. ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $e^{itX}$. Т. о.,$$f_X(t)=\mathsf{E}e^{itX},$$ где $i$ – мни­мая еди­ни­ца, а $t$ (ар­гу­мент Х. ф. $f_X(t)$) – про­из­воль­ное дей­ст­ви­тель­ное чис­ло. Х. ф. лю­бой слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$ мож­но вы­чис­лить, ис­поль­зуя её функ­цию рас­пре­де­ле­ния $F_X(x)=F(x)$ (см. Рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей):$$f_x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}dF(x),$$где ин­те­грал по­ни­ма­ет­ся в смыс­ле Стил­ть­е­са. По­это­му мож­но ска­зать, что Х. ф. слу­чай­ной ве­ли­чи­ны есть пре­об­ра­зо­ва­ние Фу­рье – Стил­ть­е­са её функ­ции рас­пре­де­ле­ния.

Свой­ст­ва Х. ф.: ка­ж­дой слу­чай­ной ве­ли­чи­не со­от­вет­ст­ву­ет оп­ре­де­лён­ная Х. ф. $f_X(t)$; рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей для $X$ од­но­знач­но оп­ре­де­ля­ет­ся по Х. ф. $f_X(t)$; при сло­же­нии не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин их Х. ф. пе­ре­мно­жа­ют­ся; при над­ле­жа­щем оп­ре­де­ле­нии по­ня­тия «бли­зо­сти» слу­чай­ным ве­ли­чи­нам с близ­ки­ми рас­пре­де­ле­ния­ми со­от­вет­ст­ву­ют Х. ф., ма­ло от­ли­чаю­щие­ся друг от дру­га, и об­рат­но, близ­ким Х. ф. со­от­вет­ст­ву­ют слу­чай­ные ве­ли­чи­ны с близ­ки­ми рас­пре­де­ле­ния­ми. Ука­зан­ные свой­ст­ва оп­ре­де­ля­ют ог­ром­ное прак­тич. зна­че­ние Х. ф. в тео­рии ве­ро­ят­но­стей; в ча­ст­но­сти, на них ос­но­ва­но при­ме­не­ние Х. ф. при до­ка­за­тель­ст­ве пре­дель­ных тео­рем.

Впер­вые ап­па­рат, по су­ще­ст­ву рав­но­знач­ный при­ме­не­нию Х. ф., ис­поль­зо­ван П. Ла­п­ла­сом (1812), но вся си­ла ме­то­да Х. ф. бы­ла по­ка­за­на А. М. Ля­пу­но­вым (1900), по­лу­чив­шим с его по­мо­щью свою из­вест­ную тео­ре­му (см. Цен­траль­ная пре­дель­ная тео­ре­ма).

Ино­гда Х. ф. под­мно­же­ст­ва $A$ мно­же­ст­ва $M$ (ин­ди­ка­то­ром $A$) на­зы­ва­ют функ­цию $f_A(x)$, рав­ную 1 при $x∈A$ и рав­ную 0 при $x∈M\setminus A$.