КОШИ́ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
КОШИ́ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ, распределение вероятностей случайной величины X, имеющее плотность p(x;λ,μ)=1πλπλ2+(x−μ)2,−∞<х<∞, где −∞<μ<∞ и λ>0 – параметры. К. р. унимодально и симметрично относительно точки x=μ, являющейся модой и медианой этого распределения [на рис. а и б изображены графики плотности p(x;λ,μ) и соответствующей функции распределения F(x;λ,μ) при μ=1,5 и λ=1]. Математическое ожидание К. р. не существует. Характеристическая функция К. р. равна eiμt−λ|t|,−∞<t<∞. Произвольное К. р. с параметрами μ и λ выражается через стандартное К. р. с параметрами 0 и 1 формулой p(x;μ,λ)=1λp(x−μλ), где p(x)=1π(1+x2).
Если независимые случайные величины X1,…,Xn имеют одно и то же К. р., то их арифметич. среднее (X1+...+Xn)/n для любого n=1,2,... имеет то же самое распределение; этот факт был установлен С. Пуассоном (1830). К. р. является устойчивым распределением. Отношение X/Y независимых случайных величин X и Y со стандартным нормальным распределением имеет К. р. с параметрами 0 и 1. Распределение тангенса tgZ случайной величины Z, с равномерным распределением на отрезке [−π/2,π/2], также имеет К. р. с параметрами 0 и 1. К. р. рассматривалось О. Коши (1853).