НОРМА́ЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ

НОРМА́ЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ (рас­пре­де­ле­ние Га­ус­са), од­но из важ­ней­ших рас­пре­де­ле­ний ве­ро­ят­но­стей. Рас­пре­деле­ние ве­ро­ят­но­стей дей­ст­ви­тель­ной слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X $ на­зы­ва­ет­ся нор­маль­ным, ес­ли оно име­ет плот­ность ве­ро­ят­но­сти$$p(x; a, \sigma)=\frac{1}{\sqrt {2\pi \sigma}}e^{-(x-a)^2/(2\sigma^2)}$$ $$-\infty(*)где $a$ – дей­ст­ви­тель­ное чис­ло и $σ>0$, т. е. Н. р. се­мей­ст­ва (*) за­ви­сят от двух па­ра­мет­ров – $a$ и $σ$ . Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние X сов­па­да­ет с $a$, дис­пер­сия X рав­на $σ^2$, а ха­рак­те­ри­сти­че­ская функ­ция име­ет вид$$f(t)=e^{iat-\sigma^2t^2/2}.$$

Гра­фик плот­но­сти (рис.) Н. р. $p \ (x; a, σ$) сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но пря­мой $x=a$, и при $x=a$  эта плот­ность име­ет един­ствен­ный мак­си­мум, рав­ный $1/\sqrt{2 \pi \sigma}$. С умень­ше­ни­ем $σ$ гра­фик Н. р. ста­но­вит­ся всё бо­лее ост­ро­вер­шин­ным. Из­ме­не­ние $a$ при по­сто­ян­ном σ не ме­ня­ет фор­му гра­фи­ка, а вы­зы­ва­ет лишь его сме­ще­ние по оси абс­цисс. Пло­щадь, за­клю­чён­ная ме­ж­ду гра­фи­ком Н. р. и осью абс­цисс, все­гда рав­на еди­ни­це. При $a=0$ и $σ=1$ Н. р. на­зы­ва­ет­ся стан­дарт­ным нор­маль­ным, со­от­вет­ст­вую­щая функ­ция рас­пре­де­ле­ния есть $$Ф(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty} ^{x} e^{-u^2/2} du, - \infty $$

В об­щем слу­чае функ­ция рас­пре­де­ле­ния Н. р. $F(x; a, σ)$ мо­жет быть вы­чис­ле­на по фор­му­ле $F(x; a, σ)=Φ((x-a)/σ)$. Для функ­ции $Φ \ (x)$ и не­сколь­ких её про­из­вод­ных со­став­ле­ны об­шир­ные таб­ли­цы. Для Н. р. ве­ро­ят­ность не­ра­вен­ст­ва $|X-a|>kσ$, рав­ная $1-Φ(k)+Φ(-k)$, с рос­том $k $ убы­ва­ет весь­ма бы­ст­ро.

Во мно­гих прак­тич. во­про­сах при рас­смот­ре­нии Н. р. пре­неб­ре­га­ют воз­мож­но­стью от­кло­не­ний $X $ от $a$, пре­вы­шаю­щих $3σ$ , – т. н. пра­ви­ло трёх сиг­ма (со­от­вет­ст­вую­щая ве­ро­ят­ность мень­ше 0,003). Сумма независимых случайных величин $X_1, X_2,..., X_n$, имеющих Н. р. с параметрами $ \mathbf EXi=ai, DXi=, i=1,..., n,$ нормально распределена с параметрами $a=a_1+a_2+\dots +a_n \ и \ \sigma^2=\sigma^2_{1}+\dots+\sigma^2_{n}.$

Спра­вед­ли­во и об­рат­ное: ес­ли сум­ма $n$ не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин нор­мально распределена, то и ка­ж­дая из них име­ет Н. р., а па­ра­мет­ры этих Н. р. свя­за­ны ука­зан­ны­ми ра­вен­ст­ва­ми; это сле­ду­ет из од­ной тео­ре­мы, до­ка­зан­ной $Х$. Кра­ме­ром.

Н. р. встре­ча­ет­ся в боль­шом чис­ле при­ло­же­ний. Тео­ре­тич. обос­но­ва­ние ис­клю­чит. ро­ли Н. р. дают пре­дель­ные тео­ре­мы тео­рии ве­ро­ят­но­стей, в ча­ст­но­сти цен­траль­ная пре­дель­ная тео­ре­ма. Ка­че­ст­вен­но это мо­жет быть объ­яс­не­но сле­дую­щим об­ра­зом: Н. р. слу­жит хо­ро­шим при­бли­же­ни­ем ка­ж­дый раз, ко­гда рас­смат­ри­вае­мая слу­чай­ная ве­ли­чи­на пред­став­ля­ет со­бой сум­му боль­шо­го чис­ла не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин, мак­си­маль­ная из ко­то­рых ма­ла по срав­не­нию со всей сум­мой.

Н. р. может так­же по­яв­лять­ся как точ­ное ре­ше­ние не­ко­то­рых за­дач (в рам­ках при­ня­той ма­те­ма­тич. мо­де­ли яв­ле­ния). Так об­сто­ит де­ло в тео­рии слу­чай­ных про­цес­сов (в од­ной из осн. мо­де­лей бро­унов­ско­го дви­же­ния). Клас­сич. при­ме­ры воз­ник­но­ве­ния Н. р. как точ­но­го при­над­ле­жат К. Га­ус­су (за­кон рас­пре­де­ле­ния оши­бок на­блю­де­ния) и Дж. К. Макс­вел­лу (за­кон рас­пре­де­ле­ния ско­ро­стей мо­ле­кул).

Со­вме­ст­ное рас­пре­де­ле­ние не­сколь­ких слу­чай­ных ве­ли­чин $X_1, X_2, ..., X_s$ на­зы­ва­ет­ся мно­го­мер­ным нор­маль­ным, ес­ли при лю­бых дей­ст­ви­тель­ных $t_1, t_2, ..., t_s $ слу­чай­ная ве­ли­чи­на $t_1X_1+t_2X_2+ ...+t_sX_s $ име­ет Н. р. или рав­на по­сто­ян­ной. Ес­ли она ни при ка­ких $t_1, t_2, ..., t_s$ не рав­на по­сто­ян­ной, то со­вме­ст­ное рас­пре­де­ле­ние $X_1, X_2, ..., X_s $ име­ет плот­ность ви­да$$p(x_1, x_2, \dots, x_s)=C\quad exp \big(-\sum_{k,l=1}^sq_{k,l}(x_k-a_k)(x_1-a_1)\big), $$

где сум­ма яв­ля­ет­ся по­ло­жи­тель­но оп­реде­лён­ной квад­ра­тич­ной фор­мой, $a_1, a_2, ..., a_s$ рав­ны ма­те­ма­тич. ожи­да­ни­ям $X_1, X_2, ..., X_s$ со­от­вет­ст­вен­но, ко­эф­фи­ци­ен­ты $C$ и $q_{kl}=q_{lk}$ мо­гут быть вы­ра­же­ны че­рез дис­пер­сии $X_1, X_2, ..., X_s$ и ко­эф­фи­ци­ен­ты кор­ре­ля­ции $ρ_{kl}$ ме­ж­ду $X_k$ и $X_l$. Напр., дву­мер­ное Н. р. име­ет плот­ность $$p(x,y)=С\quad exp \big(-\frac{1}{2(1-p^2)}\times \big[-\frac{(x-a_1)^2}{\sigma_1^2}+\frac{(y-a_2)^2}{\sigma_2^2}-\frac{2p(x-a_1)(y-a_2)}{\sigma_1 \sigma_2}\big] \big),$$где$$C=\big(2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt {1-p^2}\big)^{-1},$$$a_1, a_2$ и $\sigma^2_1, \sigma^2_2$ – ма­те­ма­тич. ожи­да­ния и дис­пер­сии ве­ли­чин $X$ и $Y, ρ$ – ко­эф. кор­ре­ля­ции ме­ж­ду $X$ и $Y$:$$p[=\frac{Ἕ[(X-a_1)(Y-a_2)]}{\sigma_1 \sigma_2}$$

Об­щее ко­ли­че­ст­во па­ра­мет­ров, за­даю­щих мно­го­мер­ное Н. р., рав­но $\frac{(s+1)(s+2)}{2}-1$

и бы­ст­ро рас­тёт с уве­ли­че­ни­ем $s$ (рав­но 20 при $s=5 $ и 65 при $s=10$). Мно­го­мер­ное Н. р. слу­жит осн. мо­де­лью мно­го­мер­но­го ста­ти­стич. ана­ли­за. Оно ис­поль­зу­ет­ся так­же в тео­рии слу­чай­ных про­цес­сов (где рас­смат­ри­ва­ют так­же Н. р. в бес­ко­неч­но­мер­ных про­стран­ст­вах).

О во­про­сах, свя­зан­ных с оцен­кой па­ра­мет­ров Н. р. по ре­зуль­та­там на­блю­де­ний, см. в ст. Не­сме­щён­ная оцен­ка. Тер­мин «Н. р.» при­над­ле­жит К. Пир­со­ну.