ПЛО́ТНОСТЬ ВЕРОЯ́ТНОСТИ

ПЛО́ТНОСТЬ ВЕРОЯ́ТНОСТИ, плот­ность рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$, функ­ция $p(x), -∞\lt x \lt ∞$, та­кая, что $$p(x)⩾0, \int\limits_{-\infty}^{\infty} p(x)dx=1$$ и при лю­бых $a\lt b$ ве­ро­ят­ность со­бы­тия $a\lt X\lt b$ рав­на $$\int\limits_a^b p(x)dx.$$ Ес­ли $p(x)$ не­пре­рыв­на, то при дос­та­точно ма­лых $Δx$ ве­ро­ят­ность не­ра­вен­ства $x\lt X\lt x+Δx$ при­бли­жён­но рав­на $p(x)Δx$ (с точ­но­стью до ма­лых бо­лее вы­со­ко­го по­ряд­ка). Функ­ция рас­пре­де­ле­ния $F(x)$ слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$, имею­щей плот­ность, свя­за­на с П. в. ра­вен­ст­ва­ми $$F(x)=\int\limits_{-\infty}^x p(u)du, -∞\lt x\lt ∞,$$и, ес­ли $F(x)$ диф­фе­рен­ци­руе­ма, $p(x)=F′(x)$.

Слу­чай­ные ве­ли­чи­ны, имею­щие П. в., на­зы­ва­ют­ся не­пре­рыв­но рас­пре­де­лён­ны­ми слу­чай­ны­ми ве­ли­чи­на­ми, а их рас­пре­де­ле­ния – не­пре­рыв­ны­ми (точ­нее, аб­со­лют­но не­пре­рыв­ны­ми) рас­пре­де­ле­ния­ми.

Мо­мен­ты $\mathsf{E}X^k$ лю­бо­го по­ряд­ка $k=1, 2, ...$, та­ких слу­чай­ных ве­ли­чин вы­чис­ля­ют по фор­му­лам $$\mathsf{E}X^k=\int\limits_{-\infty}^{\infty}x_kp(x)dx,$$ ес­ли ин­те­гра­лы аб­со­лют­но схо­дят­ся.

Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ют со­вме­ст­ную П. в. не­сколь­ких слу­чай­ных ве­ли­чин $X_1, ..., X_n$ (П. в. со­вме­ст­но­го рас­пре­де­ле­ния): $$p(x_1, ..., x_n)⩾0,\\ \int\limits_{-\infty}^{\infty} ... \int\limits_{-\infty}^{\infty} p(x_1, ..., x_n) dx_1 ... dx_n=1,$$ и для лю­бых $a_i\lt b_i, i=1, ..., n$, ве­ро­ят­ность од­но­вре­мен­но­го вы­пол­не­ния не­ра­венств $a_1\lt X_1\lt b_1, ..., a_n\lt X_n \lt b_n$ рав­на $$\int\limits_{a_1}^{b_1} ... \int\limits_{a_n}^{b_n} p(x_1, ..., x_n) dx_1 ... dx_n.$$

Ес­ли су­ще­ст­ву­ет со­вме­ст­ная П. в. слу­чай­ных ве­ли­чин $X_1,...,X_n$, то для их не­за­ви­си­мо­сти не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы со­вме­ст­ная П. в. бы­ла про­из­ве­де­ни­ем П. в. отд. ве­ли­чин, т. е. $$p(x_1, ..., x_n)=p_1(x_1)...p_n(x_n),$$ где $p_i$ – П. в. ве­ли­чи­ны $X_i, i=1, ..., n$. По со­вме­ст­ной П. в. слу­чай­ных ве­ли­чин мож­но най­ти рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей лю­бой функ­ции от этих ве­ли­чин; так, напр., для двух не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин с П. в. $p_1$ и $p_2$ П. в. их сум­мы вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле свёрт­ки $$p(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} p_1(x-y)p_2(y)dy.$$