УСТО́ЙЧИВОЕ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ

УСТО́ЙЧИВОЕ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ, рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей, функ­ция рас­пре­де­ле­ния ко­то­ро­го со­хра­ня­ет свой тип при свёрт­ке с функ­ци­ей рас­пре­де­ле­ния то­го же ти­па. При этом ти­пом на­зы­ва­ют мно­же­ст­во функ­ций рас­пре­де­ле­ния $G(bx+a)$, где $G$ – лю­бая функ­ция из дан­но­го ти­па, $b$ – лю­бое по­ло­жи­тель­ное, $a$ – лю­бое дей­ст­ви­тель­ное чис­ло. Ино­гда оп­ре­де­ле­ние ус­той­чи­во­сти за­пи­сы­ва­ют сле­дую­щим об­ра­зом: для лю­бых дей­ст­ви­тель­ных $a_1$,$a_2$ и лю­бых по­ло­жи­тель­ных $b_1$,$b_2$ су­ще­ст­ву­ют дей­ст­ви­тель­ное чис­ло $a$ и по­ло­жи­тель­ное $b$ та­кие, что при всех $x$ $$G(b_1x+a_1)*G(b_2x+a_2)=G(bx+a),$$ где $*$ – сим­вол опе­ра­ции свёрт­ки. Мно­жест­во У. р. яв­ля­ет­ся под­мно­жест­вом мно­жест­ва без­гра­нич­но де­ли­мых рас­пре­де­ле­ний. Ха­рак­те­ри­сти­че­ские функ­ции У. р. вы­ра­жа­ют­ся в яв­ном ви­де$$g(t)=\text{exp} \left\{ iγt - c|t|^α \left[ 1-iβ \frac{t}{|t|} ω(t,α) \right] \right\},$$где па­ра­мет­ры $0 < α ⩽ 2$, $–1 ⩽ β ⩽ 1$, $c ⩾ 0$, $γ$ – дей­ст­ви­тель­ное чис­ло. Функ­ция $ω(t,α)=\tan\frac{πα}{2}$ при $α\neq 1$ и $ω(t,α)=\tan\frac{2}{π}\ln |t|$ при $α=1$. Чис­ло $γ$ яв­ля­ет­ся па­ра­мет­ром сдви­га, $c$ иг­ра­ет роль па­ра­мет­ра мас­шта­ба, $β$ свя­за­но с асим­мет­ри­ей рас­пре­де­ле­ния, $α$ на­зы­ва­ет­ся ха­рак­те­ри­сти­че­ским по­ка­за­те­лем У. р., с ве­ли­чи­ной $α$ свя­за­ны ско­ро­сти убы­ва­ния функ­ций $G(–x)$ и $1-G(x)$ при $x→∞$. Для У. р. с по­ка­за­те­лем $α < 2$ су­ще­ст­ву­ют аб­со­лют­ные мо­мен­ты по­ряд­ков, мень­ших $α$, мо­мент по­ряд­ка $α$ не су­ще­ст­ву­ет. У. р. с по­ка­за­те­лем $α=2$ яв­ля­ет­ся нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние. При­ме­ром У. р. с по­ка­за­те­лем $α=1$ слу­жит Ко­ши рас­пре­де­ле­ние. Все У. р. име­ют плот­но­сти, ко­то­рые бес­ко­неч­но диф­фе­рен­ци­руе­мы. Яв­ный вид плот­но­стей из­вес­тен лишь для нор­маль­но­го рас­пре­де­ле­ния, рас­пре­де­ле­ния Ко­ши и рас­пре­де­ле­ния Ле­ви – Смир­но­ва, плот­ность ко­то­ро­го$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}x^{3/2}}e^{-1/2x}$$для по­ло­жи­тель­ных $x$ и $p(x)=0$ для от­ри­ца­тель­ных $x$.

У. р. и толь­ко они яв­ля­ют­ся пре­дель­ны­ми для рас­пре­де­ле­ний сумм не­за­ви­си­мых оди­на­ко­во рас­пре­де­лён­ных слу­чай­ных ве­ли­чин. Точ­нее, ес­ли $X_1$,$X_2$,$...$ – не­за­ви­си­мые оди­на­ко­во рас­пре­де­лён­ные ве­ли­чи­ны и для не­ко­то­рой по­сле­до­ва­тель­но­сти по­сто­ян­ных $A_n, B_n>0$ рас­пре­де­ле­ния цен­три­ро­ван­ных и нор­ми­ро­ван­ных сумм $$\frac{X_1+...+X_n-A_n}{B_n}\tag{*}$$ схо­дят­ся к не­вы­ро­ж­ден­но­му пре­дель­но­му рас­пре­де­ле­нию, то пре­дель­ное рас­пре­де­ле­ние ус­той­чи­во. Об­рат­но, ес­ли $X_1$,$X_2$,$...$ – не­за­ви­си­мые оди­на­ко­во рас­пре­де­лён­ные ве­ли­чи­ны, имею­щие У. р., то су­ще­ст­ву­ет по­сле­до­ва­тель­ность по­сто­ян­ных $A_n, B_n>0$ та­кая, что рас­пре­де­ле­ния цен­три­ро­ван­ных и нор­ми­ро­ван­ных сумм (*) схо­дят­ся к это­му же У. р. В ча­ст­но­сти, ес­ли $X_1$,$X_2$,$...$ – не­за­ви­си­мые оди­на­ко­во рас­пре­де­лён­ные ве­ли­чи­ны, имею­щие У. р. с па­ра­мет­ра­ми $γ=0$, $β=0$, то рас­пре­де­ле­ния слу­чай­ных ве­ли­чин$$\frac{X_1+...+X_n}{n^{1/α}}$$не за­ви­сят от $n$ и по­это­му схо­дят­ся к то­му же У. р.