Усто́йчивое распределе́ние, распределение вероятностей, функция распределения которого сохраняет свой тип при свёртке с функцией распределения того же типа. При этом типом называют множество функций распределения $G(bx+a)$, где $G$ – любая функция из данного типа, $b$ – любое положительное, $a$ – любое действительное число. Иногда определение устойчивости записывают следующим образом: для любых действительных $a_1,a_2$ и любых положительных $b_1,b_2$ существуют действительное число $a$ и положительное $b$ такие, что при всех $x$ $$G(b_1x+a_1)*G(b_2x+a_2)=G(bx+a),$$где $*$ – символ операции свёртки. Множество устойчивых распределений является подмножеством множества безгранично делимых распределений. Характеристические функции устойчивых распределений выражаются в явном виде$$g(t)=\text{exp} \left\{ iγt - c|t|^α \left[ 1-iβ \frac{t}{|t|} ω(t,α) \right] \right\},$$где параметры $0 < α ⩽ 2$, $–1 ⩽ β ⩽ 1$, $c ⩾ 0$, $γ$ – действительное число. Функция $ω(t,α)=\tan\frac{πα}{2}$ при $α\neq 1 \ и \ ω(t,α)=\tan\frac{2}{π}\ln |t|$ при $α=1$. Число $γ$ является параметром сдвига, $c$ играет роль параметра масштаба, $β$ связано с асимметрией распределения, $α$ называется характеристическим показателем устойчивого распределения, с величиной $α$ связаны скорости убывания функций $G(–x) \ и \ 1-G(x)$ при $x→∞$. Для устойчивого распределения с показателем $α < 2$ существуют абсолютные моменты порядков, меньших $α$, момент порядка $α$ не существует. Устойчивым распределением с показателем $α=2$ является нормальное распределение. Примером устойчивого распределения с показателем $α=1$ служит распределение Коши. Все устойчивые распределения имеют плотности, которые бесконечно дифференцируемы. Явный вид плотностей известен лишь для нормального распределения, распределения Коши и распределения Леви – Смирнова, плотность которого$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}x^{3/2}}e^{-1/2x}$$для положительных $x$ и $p(x)=0$ для отрицательных $x$.

Устойчивые распределения и только они являются предельными для распределений сумм независимых одинаково распределённых случайных величин. Точнее, если $X_1,X_2,...$ – независимые одинаково распределённые величины и для некоторой последовательности постоянных $A_n, B_n>0$ распределения центрированных и нормированных сумм $$\frac{X_1+...+X_n-A_n}{B_n}\tag{*}$$ сходятся к невырожденному предельному распределению, то предельное распределение устойчиво. Обратно, если $X_1,X_2,...$ – независимые одинаково распределённые величины, имеющие устойчивое распределение, то существует последовательность постоянных $A_n, B_n>0$ такая, что распределения центрированных и нормированных сумм (*) сходятся к этому же устойчивому распределению. В частности, если $X_1,X_2,...$ – независимые одинаково распределённые величины, имеющие устойчивое распределение с параметрами $γ=0, β=0$, то распределения случайных величин$$\frac{X_1+...+X_n}{n^{1/α}}$$не зависят от $n$ и поэтому сходятся к тому же устойчивому распределению.