ПОВТО́РНОГО ЛОГАРИ́ФМА ЗАКО́Н

ПОВТО́РНОГО ЛОГАРИ́ФМА ЗАКО́Н, од­на из пре­дель­ных тео­рем тео­рии ве­ро­ятно­стей, близ­кая по смыс­лу к за­ко­ну боль­ших чи­сел. П. л. з. ука­зы­ва­ет (при оп­ре­де­лён­ных ус­ло­ви­ях) точ­ный по­ря­док рос­та сумм не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин при уве­ли­че­нии чис­ла сла­гае­мых. Пусть, напр., слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $X_1,X_2,...,X_n,...$ не­за­ви­си­мы и ка­ж­дая из них при­ни­ма­ет два зна­че­ния $+1$ или $–1$ с ве­ро­ят­но­стя­ми, рав­ны­ми $1/2$, и пусть сум­ма $S_n=X_1+X_2+ ...+X_n$. То­гда для лю­бо­го чис­ла $δ\gt 0$ с ве­ро­ят­но­стью, рав­ной $1$, при всех $n$, боль­ших не­ко­то­ро­го (за­ви­ся­ще­го от слу­чая) но­ме­ра $N$ $$S_n\lt (1+δ)\sqrt{2n\ln\ln n};$$ для бес­ко­неч­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти но­ме­ров $n$  $$S_n\gt (1-δ)\sqrt{2n\ln\ln n}.$$

Назв. «П. л. з.» объ­яс­ня­ет­ся на­ли­чи­ем в при­ве­дён­ных вы­ра­же­ни­ях мно­жи­те­ля $\ln\ln n$. Пер­вый ре­зуль­тат, от­но­ся­щий­ся к П. л. з., был ус­та­нов­лен А. Я. Хин­чи­ным