Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js
Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

МА́РКОВА ЦЕПЬ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 19. Москва, 2011, стр. 162

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:


    Книжная версия:



    Электронная версия:

Авторы: А. В. Прохоров

МА́РКОВА ЦЕПЬ, по­сле­до­ва­тель­ность за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин X0,X1,X2,... со зна­че­ния­ми из мно­же­ст­ва на­ту­раль­ных чи­сел, об­ла­даю­щая тем свой­ст­вом, что ус­лов­ное рас­пре­де­ле­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны X_n,\: n⩾1, за­ви­сит толь­ко от зна­че­ния X_{n-1} и не за­ви­сит от всех пре­ды­ду­щих зна­че­ний, т. е. ус­лов­ная ве­ро­ят­ность \mathbf{P}\{X_n=i_n\mid X_0=i_0,...,X_{n-1}=i_{n-1}\}=\mathbf{P}\{X_n=i_n\mid X_{n-1}=i_{n-1}\}.

Это свой­ст­во, оп­ре­де­ляю­щее М. ц., на­зы­ва­ет­ся мар­ков­ским свой­ст­вом и яв­ля­ет­ся обоб­ще­ни­ем по­ня­тия не­за­ви­си­мо­сти. М. ц. поя­ви­лись в ис­сле­до­ва­ни­ях А. А. Мар­ко­ва

 >>
(1907) и по­слу­жи­ли на­ча­лом соз­да­ния тео­рии мар­ков­ских про­цес­сов. С об­щей точ­ки зре­ния М. ц. пред­став­ля­ет со­бой мар­ков­ский про­цесс
 >>
с дис­крет­ным вре­ме­нем n=0,1,2,... и ко­неч­ным или счёт­ным мно­же­ст­вом со­стоя­ний; со­стоя­ния М. ц. суть воз­мож­ные зна­че­ния слу­чай­ных ве­ли­чин X_0, X_1,... Ес­ли ус­лов­ные ве­ро­ят­но­сти \mathbf{P}\{X_n=j\mid X_{n-1}=i\},\:i,j=1,2,..., оди­на­ко­вы для всех n, со­от­вет­ст­вую­щая М. ц. на­зы­ва­ет­ся од­но­род­ной (по вре­ме­ни). Ве­ро­ят­но­сти p_{ij}=\mathbf{P}\{X_n=j\mid X_{n-1}=i\} на­зы­ва­ют­ся пе­ре­ход­ны­ми ве­ро­ят­но­стя­ми од­но­род­ной М. ц.; в со­во­куп­но­сти они со­став­ля­ют квад­рат­ную мат­ри­цу \prod =\left \| p_{ij} \right \|, i,j=1,2,..., эле­мен­ты ко­то­рой p_{ij}⩾0 для всех i,j и \sum_{j}p_{ij}=1; та­кие мат­ри­цы на­зы­ва­ют­ся сто­хас­ти­че­ски­ми. Рас­пре­де­ле­ние p_k(0)=\mathbf{P}\{X_0=k\}, k=1,2,..., слу­чай­ной ве­ли­чи­ны X_0 на­зы­ва­ют на­чаль­ным рас­пре­де­ле­ни­ем М. ц. Со­вме­ст­ное рас­пре­де­ле­ние X_0,X_1,...,X_n вы­ра­жа­ет­ся че­рез эле­мен­ты мат­ри­цы \prod и рас­пре­де­ле­ние \{p_k(0),\: k=1,2,...\}:\mathbf{P}\{X_0=i_0,X_1=i_1,...,X_n=i_n\}=p_{i_0}(0)p_{i_0,i_1}...p_{i_{n-1},i_n}Пе­ре­ход­ные ве­ро­ят­но­сти из со­стоя­ния i в со­стоя­ние j за n ша­гов p_{ij}(n)=\mathbf{P}\{X_{m+n}=j\mid X_m=i\}удов­ле­тво­ря­ют урав­не­нию Кол­мо­го­ро­ва – Чеп­ме­н p_{ij}(n_1+n_2)=\sum_{k}p_{ik}(n_1)p_{kj}(n_2),а со­от­вет­ст­вую­щие мат­ри­цы \prod_n=\left \| p_{ij}(n) \right \|  – со­от­но­ше­нию \prod _{n_1+n_2}=\prod_{n_1} \prod_{n_2} . Пе­ре­ход­ные ве­ро­ят­но­сти p_{ij}(n) од­но­знач­но оп­ре­де­ля­ют­ся мат­ри­цей \prod, т. к. \prod _n=\prod^n . Т. о., все рас­пре­де­ле­ния М. ц. пол­но­стью за­да­ют­ся мат­ри­цей \prod и на­чаль­ным рас­пре­де­ле­ни­ем \{p_k(0),\: k=1,2,...\}.

Важ­ным клас­сом М. ц. яв­ля­ют­ся т. н. эр­го­дич. М. ц., пе­ре­ход­ные ве­ро­ят­но­сти ко­то­рых p_{ij}(n) об­ла­да­ют тем свой­ст­вом, что \lim_{n\rightarrow \infty }p_{ij}(n)=p_j\geqslant 0\:j,j=1,2,..., где чис­ла p_j,j=1,2,...,\sum_{j}p_j=1 , представ­ля­ют со­бой един­ст­вен­ное ре­ше­ние сис­те­мы урав­не­ний p_j=\sum_{i}p_ip_{ij},\:j=1,2,... Чис­ла p_j ин­тер­пре­ти­ру­ют­ся в этом слу­чае как ве­ро­ят­но­сти то­го, что М. ц. че­рез очень боль­шое вре­мя n ока­жет­ся в со­стоя­нии j не­за­ви­си­мо от на­чаль­но­го рас­пре­де­ле­ния. Та­кое рас­пре­де­ле­ние p_j, j= 1,2,..., на­зы­ва­ет­ся ста­цио­нар­ным рас­пре­де­ле­ни­ем М. ц. с пе­ре­ход­ной мат­ри­цей \prod ; оно об­ла­да­ет следующим свой­ст­вом: ес­ли\mathbf{P}\{X_0=j\}=p_j,\:j=1,2,..., то при лю­бом n\mathbf{P}\{X_n=j\}=p_j,т. е. ес­ли на­чаль­ное рас­пре­де­ле­ние сов­па­да­ет со ста­цио­нар­ным, то рас­пре­де­ле­ния слу­чай­ных ве­ли­чин X_n, n=0,1,..., не за­ви­сят от n. Со­от­вет­ст­вую­щая М. ц. на­зы­ва­ет­ся ста­цио­нар­ной; см. Ста­цио­нар­ный слу­чай­ный про­цесс

 >>
.

Лит.: Чжун Кай-лай. Од­но­род­ные це­пи Мар­ко­ва. М., 1964; Ке­ме­ни Дж., Снелл Дж. Ко­неч­ные це­пи Мар­ко­ва. М., 1970; Фел­лер В. Вве­де­ние в тео­рию ве­ро­ят­но­стей и ее при­ло­же­ния: В 2 т. 2-е изд. М., 2010.

Вернуться к началу