СТАЦИОНА́РНЫЙ СЛУЧА́ЙНЫЙ ПРОЦЕ́СС

СТАЦИОНА́РНЫЙ СЛУЧА́ЙНЫЙ ПРО­ЦЕ́СС (от лат. stationarius – не­под­виж­ный), слу­чай­ный про­цесс, ве­ро­ят­но­ст­ные ха­рак­те­ри­сти­ки ко­то­ро­го не ме­ня­ют­ся с те­че­ни­ем вре­ме­ни. Напр., ес­ли $X(t)$, $t$ – вре­мя, яв­ля­ет­ся С. с. п., то рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X(t)$ од­но и то же при всех $t$, со­вме­ст­ное рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей слу­чай­ных ве­ли­чин $X(t)$ и $X(t+s)$ не за­ви­сит от $t$ и т. д. В тео­рии С. с. п. осн. роль иг­ра­ют мо­мен­ты рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей зна­че­ний про­цес­са $X(t)$ и осо­бен­но мо­мен­ты пер­вых двух по­ряд­ков: сред­нее зна­че­ние С. с. п. $\mathsf{E}X(t)=m$ и кор­ре­ля­ци­он­ная функ­ция С. с. п. $\mathsf{E}X(t)X(t+s)=B(s)$. Во мно­гих ис­сле­до­ва­ни­ях изу­ча­ют­ся толь­ко те свой­ст­ва С. с. п., ко­то­рые пол­но­стью оп­ре­де­ля­ют­ся од­ни­ми лишь ха­рак­те­ри­сти­ка­ми $m$ и $B(s)$ (т. н. кор­ре­ля­ци­он­ная тео­рия или тео­рия вто­ро­го по­ряд­ка С. с. п.). В этой свя­зи слу­чай­ные про­цес­сы $X(t)$, для ко­то­рых $\mathsf{E}X(t)$ и $\mathsf{E}X(t)X(t+s)$ не за­ви­сят от зна­че­ния $t$, час­то на­зы­ва­ют­ся С. с. п. в ши­ро­ком смыс­ле; в та­ком слу­чае С. с. п., оп­ре­де­лён­ные вы­ше, все ве­ро­ят­но­ст­ные ха­рак­те­ри­сти­ки ко­то­рых не ме­ня­ют­ся со вре­ме­нем, на­зы­ва­ют­ся С. с. п. в уз­ком смыс­ле.

Боль­шое вни­ма­ние в тео­рии С. с. п. уде­ля­ет­ся спек­траль­ным рас­смот­ре­ни­ям, опи­раю­щим­ся на раз­ло­же­ние С. с. п. $X(t)$ и его кор­ре­ля­ци­он­ной функ­ции $B(s)$ в ин­те­грал Фу­рье или Фу­рье – Стил­ть­е­са. Осн. роль при этом иг­ра­ет тео­ре­ма Хин­чи­на, со­глас­но ко­то­рой кор­ре­ля­ци­он­ная функ­ция С. с. п. $X(t)$ мо­жет быть пред­став­ле­на в ви­де ин­те­гра­ла Фу­рье – Стил­ть­е­са $$B(s)=\int_{\infty}^{-\infty} e^{isλ} dF(λ),\tag{1}$$ где $F(λ)$ – ог­ра­ни­чен­ная не­убы­ваю­щая функ­ция. Ес­ли $B(s)$ дос­та­точ­но бы­ст­ро убы­ва­ет при $∣s∣→∞$ [как это ча­ще все­го бы­ва­ет в при­ло­же­ни­ях при ус­ло­вии, что под $X(t)$ по­ни­ма­ет­ся раз­ность $X(t)-m$], то ин­те­грал в пра­вой час­ти (1) ста­но­вит­ся обыч­ным ин­те­гра­лом Фу­рье $$B(s)=\int_{\infty}^{-\infty} e^{isλ} f(λ)dλ,$$ где $f(λ)=F′(λ)$ – не­от­ри­ца­тель­ная функ­ция. Функ­ция $F(λ)$ на­зы­ва­ет­ся спек­траль­ной функ­ци­ей С. с. п. $X(t)$, а функ­ция $f(λ)$ – его спек­траль­ной плот­но­стью. Сам про­цесс $X(t)$ до­пус­ка­ет спек­траль­ное раз­ло­же­ние $$X(t)=\int_{\infty}^{-\infty} e^{isλ}dZ(λ),\tag{2}$$ где $Z(λ)$ – слу­чай­ная функ­ция с не­кор­ре­ли­ро­ван­ны­ми при­ра­ще­ния­ми. Раз­ло­же­ние (2) да­ёт ос­но­ва­ние рас­смат­ри­вать лю­бой С. с. п. $X(t)$ как на­ло­же­ние не­кор­ре­ли­ро­ван­ных друг с дру­гом гар­мо­нич. ко­ле­ба­ний разл. час­тот со слу­чай­ны­ми ам­пли­ту­да­ми и фа­за­ми. При этом спек­траль­ная функ­ция $F(λ)$ и спек­траль­ная плот­ность $f(λ)$ оп­ре­де­ля­ют рас­пре­де­ле­ние энер­гии вхо­дя­щих в $X(t)$ гар­мо­нич. ко­ле­ба­ний по спек­тру час­тот $λ$, в свя­зи с чем в при­клад­ных ис­сле­до­ва­ни­ях функ­ция $f(λ)$ на­зы­ва­ет­ся так­же спек­тром мощ­но­сти (или спек­тром энер­гии) С. с. п. $X(t)$.

По­ня­тие «С. с. п.» бы­ло вве­де­но Е. Е. Слуц­ким и А. Я. Хин­чи­ным в кон. 1920-х – нач. 1930-х гг., ко­то­рые по­лу­чи­ли пер­вые ре­зуль­та­ты в тео­рии ста­цио­нар­ных слу­чай­ных про­цес­сов.