БЕРНУ́ЛЛИ ТЕОРЕ́МА

БЕРНУ́ЛЛИ ТЕОРЕ́МА, од­на из важ­ней­ших тео­рем тео­рии ве­ро­ят­но­стей, яв­ляю­щая­ся про­стей­шим слу­ча­ем т. н. боль­ших чи­сел за­ко­на. Впер­вые опуб­ли­ко­ва­на в тру­де Я. Бер­нул­ли «Ис­кус­ст­во пред­по­ло­же­ний», из­дан­ном в 1713. Пер­вые до­ка­за­тель­ст­ва Б. т. тре­бо­ва­ли слож­ных ма­те­ма­тич. вы­чис­ле­ний, лишь в сер. 19 в. П. Л. Че­бы­шев на­шёл изящ­ное и крат­кое её до­ка­за­тель­ст­во. Совр. фор­му­ли­ров­ка Б. т. та­ко­ва: ес­ли в Бер­нул­ли схе­ме при ка­ж­дом из $n$ не­за­ви­симых ис­пы­та­ний ве­ро­ят­ность не­ко­то­ро­го со­бы­тия рав­на $p$, то ве­ро­ят­ность то­го, что час­то­та $m/n$ по­яв­ле­ния со­бы­тия удов­ле­тво­ря­ет не­ра­вен­ст­ву $|m/n-p|<ε$, где $ε$ – про­из­воль­но ма­лое по­ло­жит. чис­ло, ста­но­вит­ся сколь угод­но близ­кой к еди­ни­це при дос­та­точ­но боль­шом чис­ле $n$ ис­пы­та­ний. Из до­ка­за­тель­ст­ва Че­бы­ше­ва вы­те­ка­ет про­стая ко­ли­че­ст­вен­ная оцен­ка этой ве­ро­ят­но­сти: $$\mathsf P \{| m/n-p | < ε\}>1-p(1-p)/nε^2.$$

Сле­дуя иде­ям Че­бы­ше­ва, эту оцен­ку мож­но за­ме­нить на бо­лее точ­ную оцен­ку $$\mathsf P\{ | m/n-p | ε\}>1-2e^{-2nε^2}.$$