БЕРНУ́ЛЛИ ТЕОРЕ́МА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
БЕРНУ́ЛЛИ ТЕОРЕ́МА, одна из важнейших теорем теории вероятностей, являющаяся простейшим случаем т. н. больших чисел закона. Впервые опубликована в труде Я. Бернулли «Искусство предположений», изданном в 1713. Первые доказательства Б. т. требовали сложных математич. вычислений, лишь в сер. 19 в. П. Л. Чебышев нашёл изящное и краткое её доказательство. Совр. формулировка Б. т. такова: если в Бернулли схеме при каждом из n независимых испытаний вероятность некоторого события равна p, то вероятность того, что частота m/n появления события удовлетворяет неравенству |m/n−p|<ε, где ε – произвольно малое положит. число, становится сколь угодно близкой к единице при достаточно большом числе n испытаний. Из доказательства Чебышева вытекает простая количественная оценка этой вероятности: P{|m/n−p|<ε}>1−p(1−p)/nε2.
Следуя идеям Чебышева, эту оценку можно заменить на более точную оценку P{|m/n−p|ε}>1−2e−2nε2.