СЕ́РИЙ СХЕ́МА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
СЕ́РИЙ СХЕ́МА, общая модель, в рамках которой изучаются предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. Точнее, С. с. называют множество случайных величин X1,1,X2,1,X2,2,...Xn,1,Xn,2,...,Xn,n,... где в каждой серии Xn,1,Xn,2,...,Xn,n,n=1,2,..., случайные величины взаимно независимы. Рассматриваются функции распределения Fn(x)=P{Xn,1+Xn,2+...+Xn,n−An<x},–∞<x<∞,n=1,2,..., центрированных сумм случайных величин из каждой серии, где {An}∞n=1 – некоторая числовая последовательность, и ищется ответ на вопрос: какие функции распределения G(x) могут быть предельными для последовательности {Fn(x)}∞n=1, а также каковы условия сходимости Fn(x) к G(x). В классич. теории суммирования независимых случайных величин (возникновение этой теории связано с тем, что простой операции суммирования независимых случайных величин соответствует очень сложная операция свёртки функций распределения) на С. с. налагается ограничение max1⩽j⩽nP{∣Xn,j∣⩾ε}→0,n→∞,длялюбогоε>0, которое называется условием бесконечной малости (предельной пренебрегаемости) слагаемых. При выполнении этого условия вклад каждой случайной величины Xn,j из n-й серии в формирование функции распределения Fn(x) пренебрежимо мал при n→∞. Иногда рассматриваются С. с., в которых число случайных величин в серии не совпадает с её номером, такие С. с. сводятся к С. с. (*). Впервые в общем виде С. с. рассматривались С. Н. Бернштейном в 1922. До 1930-х гг. в теории вероятностей превалировала модель нарастающих (накопленных) сумм, в которой рассматривалась последовательность взаимно независимых случайных величин X1, X2, ..., и исследовалась сходимость функций распределения нормированных и центрированных сумм S∗n=X1+...+XnBn−An, где последовательность {Bn}∞n=1 положительных чисел такова, что limn→∞Bn=∞. Эта модель сводится к С. с. (*) с помощью серий Xn,j=Xj/Bn, j=1, ..., n, n=1,2,.... В то же время некоторые предельные теоремы, напр. Пуассона теорема, могут быть корректно сформулированы только в рамках серий схемы.
В классич. теории суммирования установлено, что предельными распределениями в С. с. при выполнении условия (**) являются безгранично делимые распределения и только они. Построение классич. теории суммирования завершено в осн. в кон. 1-й пол. 20 в. работами А. Н. Колмогорова, П. Леви, А. Я. Хинчина и Б. В. Гнеденко. В 1960-х гг. в исследованиях рос. математика В. М. Золотарёва и его учеников была развита содержательная теория предельных теорем в неклассич. постановке, т. е. для С. с., для которых выполнение условия (**) не предполагается.