СЕ́РИЙ СХЕ́МА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
СЕ́РИЙ СХЕ́МА, общая модель, в рамках которой изучаются предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. Точнее, С. с. называют множество случайных величин X1,1,X2,1,X2,2,...Xn,1,Xn,2,...,Xn,n,... где в каждой серии Xn,1,Xn,2,...,Xn,n,n=1,2,..., случайные величины взаимно независимы. Рассматриваются функции распределения F_n(x)=\mathsf{P}\{X_{n,1}+X_{n,2}+...+X_{n,n}-A_n < x \},\\ –∞ < x < ∞, n=1,2, ..., центрированных сумм случайных величин из каждой серии, где \{ A_n \}_{n=1}^{∞} – некоторая числовая последовательность, и ищется ответ на вопрос: какие функции распределения G(x) могут быть предельными для последовательности \{ F_n(x) \}_{n=1}^{∞}, а также каковы условия сходимости Fn(x) к G(x). В классич. теории суммирования независимых случайных величин (возникновение этой теории связано с тем, что простой операции суммирования независимых случайных величин соответствует очень сложная операция свёртки функций распределения) на С. с. налагается ограничение \max_{1 ⩽ j ⩽ n} \mathsf{P}\{ ∣ X_{n,j} ∣ \geqslant ε \} →0,\\ n→∞,\,для\,любого\,ε > 0, \tag{**} которое называется условием бесконечной малости (предельной пренебрегаемости) слагаемых. При выполнении этого условия вклад каждой случайной величины X_{n,j} из n-й серии в формирование функции распределения F_n(x) пренебрежимо мал при n→∞. Иногда рассматриваются С. с., в которых число случайных величин в серии не совпадает с её номером, такие С. с. сводятся к С. с. (*). Впервые в общем виде С. с. рассматривались С. Н. Бернштейном в 1922. До 1930-х гг. в теории вероятностей превалировала модель нарастающих (накопленных) сумм, в которой рассматривалась последовательность взаимно независимых случайных величин X_1, X_2, ..., и исследовалась сходимость функций распределения нормированных и центрированных сумм S^*_n = \frac{X_1+...+X_n}{B_n} -A_n, где последовательность \{ B_n \}_{n=1}^{∞} положительных чисел такова, что \lim_{n→∞} B_n=∞. Эта модель сводится к С. с. (*) с помощью серий X_{n,j}=X_j/B_n, j=1, ..., n, n=1,2,.... В то же время некоторые предельные теоремы, напр. Пуассона теорема, могут быть корректно сформулированы только в рамках серий схемы.
В классич. теории суммирования установлено, что предельными распределениями в С. с. при выполнении условия (**) являются безгранично делимые распределения и только они. Построение классич. теории суммирования завершено в осн. в кон. 1-й пол. 20 в. работами А. Н. Колмогорова, П. Леви, А. Я. Хинчина и Б. В. Гнеденко. В 1960-х гг. в исследованиях рос. математика В. М. Золотарёва и его учеников была развита содержательная теория предельных теорем в неклассич. постановке, т. е. для С. с., для которых выполнение условия (**) не предполагается.