СЕ́РИЙ СХЕ́МА

СЕ́РИЙ СХЕ́МА, об­щая мо­дель, в рам­ках ко­то­рой изу­ча­ют­ся пре­дель­ные тео­ре­мы для сумм не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин. Точ­нее, С. с. на­зы­ва­ют мно­же­ст­во слу­чай­ных ве­ли­чин $$X_{1,1}, \\ X_{2,1}, X_{2,2}, \\ ...\\ X_{n,1}, X_{n,2},..., X_{n,n},\\... \tag{*}$$ где в ка­ж­дой се­рии $X_{n,1}, X_{n,2}, ..., X_{n,n}, n=1, 2, ...$, слу­чай­ные ве­ли­чи­ны вза­им­но не­за­ви­си­мы. Рас­смат­ри­ва­ют­ся функ­ции рас­пре­де­ле­ния $$F_n(x)=\mathsf{P}\{X_{n,1}+X_{n,2}+...+X_{n,n}-A_n < x \},\\ –∞ < x < ∞, n=1,2, ...,$$ цен­три­ро­ван­ных сумм слу­чай­ных ве­ли­чин из ка­ж­дой се­рии, где $\{ A_n \}_{n=1}^{∞}$ – не­ко­торая чи­сло­вая по­сле­до­ва­тель­ность, и ищет­ся от­вет на во­прос: ка­кие функ­ции рас­пре­де­ле­ния $G(x)$ мо­гут быть пре­дель­ны­ми для по­сле­до­ва­тель­но­сти $\{ F_n(x) \}_{n=1}^{∞}$, а так­же ка­ко­вы ус­ло­вия схо­ди­мо­сти $Fn(x)$ к $G(x)$. В клас­сич. тео­рии сум­ми­ро­ва­ния не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин (воз­ник­но­ве­ние этой тео­рии свя­за­но с тем, что про­стой опе­ра­ции сум­ми­ро­ва­ния не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин со­от­вет­ст­ву­ет очень слож­ная опе­ра­ция свёрт­ки функ­ций рас­пре­де­ле­ния) на С. с. на­ла­га­ет­ся ог­ра­ни­че­ние $$\max_{1 ⩽ j ⩽ n} \mathsf{P}\{ ∣ X_{n,j} ∣ \geqslant ε \} →0,\\ n→∞,\,для\,лю­бо­го\,ε > 0, \tag{**}$$ ко­то­рое на­зы­ва­ет­ся ус­ло­ви­ем бес­ко­неч­ной ма­ло­сти (пре­дель­ной пре­неб­ре­гае­мо­сти) сла­гае­мых. При вы­пол­не­нии это­го ус­ло­вия вклад ка­ж­дой слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X_{n,j}$ из $n$-й се­рии в фор­ми­ро­ва­ние функ­ции рас­пре­де­ле­ния $F_n(x)$ пре­неб­ре­жи­мо мал при $n→∞$. Ино­гда рас­сматри­ва­ют­ся С. с., в ко­то­рых чис­ло слу­чай­ных ве­ли­чин в се­рии не сов­па­дает с её но­ме­ром, та­кие С. с. сво­дят­ся к С. с. (*). Впер­вые в об­щем ви­де С. с. рас­смат­ри­ва­лись С. Н. Берн­штей­ном в 1922. До 1930-х гг. в тео­рии ве­ро­ят­но­стей пре­ва­ли­ро­ва­ла мо­дель на­рас­таю­щих (на­ко­п­лен­ных) сумм, в ко­то­рой рас­смат­ри­ва­лась по­сле­до­ва­тель­ность вза­им­но не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин $X_1$, $X_2$, $...$, и ис­сле­до­ва­лась схо­ди­мость функ­ций рас­пре­де­ле­ния нор­ми­ро­ван­ных и цен­три­ро­ван­ных сумм $$S^*_n = \frac{X_1+...+X_n}{B_n} -A_n,$$ где по­сле­до­ва­тель­ность $\{ B_n \}_{n=1}^{∞}$ по­ло­жи­тель­ных чи­сел та­ко­ва, что $\lim_{n→∞} B_n=∞$. Эта мо­дель сво­дит­ся к С. с. (*) с по­мощью се­рий $X_{n,j}=X_j/B_n,$ $j=1$, $...$, $n$, $n=1,2,...$. В то же вре­мя не­ко­то­рые пре­дель­ные тео­ре­мы, напр. Пу­ас­со­на тео­ре­ма, мо­гут быть кор­рект­но сфор­му­ли­ро­ва­ны толь­ко в рам­ках се­рий схе­мы.

В клас­сич. тео­рии сум­ми­ро­ва­ния ус­та­нов­ле­но, что пре­дель­ны­ми рас­пре­де­ле­ния­ми в С. с. при вы­пол­не­нии ус­ло­вия (**) яв­ля­ют­ся без­гра­нич­но де­ли­мые рас­пре­де­ле­ния и толь­ко они. По­строе­ние клас­сич. тео­рии сум­ми­ро­ва­ния за­вер­ше­но в осн. в кон. 1-й пол. 20 в. ра­бо­та­ми А. Н. Кол­мо­го­ро­ва, П. Ле­ви, А. Я. Хин­чи­на и Б. В. Гне­ден­ко. В 1960-х гг. в ис­сле­до­ва­ни­ях рос. ма­те­ма­ти­ка В. М. Зо­ло­та­рё­ва и его уче­ни­ков бы­ла раз­ви­та со­дер­жа­тель­ная тео­рия пре­дель­ных тео­рем в не­клас­сич. по­ста­нов­ке, т. е. для С. с., для ко­то­рых вы­пол­не­ние ус­ло­вия (**) не пред­по­ла­га­ет­ся.