БЕЗГРАНИ́ЧНО ДЕЛИ́МЫЕ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЯ

БЕЗГРАНИ́ЧНО ДЕЛИ́МЫЕ РАС­ПРЕ­ДЕ­ЛЕ́НИЯ, класс рас­пре­де­ле­ний ве­ро­ят­но­стей, свя­зан­ный с опи­са­ни­ем т. н. од­но­род­ных слу­чай­ных про­цес­сов с не­за­ви­си­мы­ми при­ра­ще­ния­ми. Так на­зы­ва­ют про­цес­сы $X(τ),\, τ⩾0$, удов­ле­тво­ряю­щие тре­бо­ва­ни­ям: 1) $X(0)=0$; 2) рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей при­ра­ще­ния $X(τ_2) - X(τ_1), \, τ_2>τ_1$, за­ви­сит толь­ко от $ τ_2 - τ_1 $; 3) при $τ_1⩽τ_2⩽...⩽τ_k (k=3, \, 4,\,  5, …)$ раз­но­сти $X(τ_2)-X(τ_1),\, X(τ_3) -X(τ_2), \, ..., \, X(τ_k)-X(τ_{k–1})$ яв­ля­ют­ся вза­им­но не­за­ви­си­мы­ми слу­чай­ны­ми ве­ли­чи­на­ми; 4) для лю­бо­го $ε>0$ при $τ→0$ ве­ро­ят­ность ${\text P}(|X(τ)|>ε)$ стре­мит­ся к ну­лю. При­ме­ра­ми та­ких про­цес­сов мо­гут слу­жить ви­не­ров­ский про­цесс и пу­ас­со­нов­ский про­цесс. При лю­бом $τ>0$ ха­рак­те­ри­стич. функ­ция $f(t)$ слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X(τ)$ яв­ля­ет­ся $n$-й сте­пе­нью не­ко­то­рой дру­гой ха­рак­те­ри­стич. функ­ции (при $n=2,\, 3,\, 4,\, …$). Ес­ли к.-л. ха­рак­те­ри­стич. функ­ция $f(t)$ об­ла­да­ет по­след­ним свой­ст­вом, то её на­зы­ва­ют без­гра­нич­но де­ли­мой (и, со­от­вет­ст­вен­но, рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей на­зы­ва­ет­ся без­гра­нич­но де­ли­мым). Ло­га­рифм $\ln f(t)$ для та­ких функ­ций за­да­ёт­ся т. н. ка­но­нич. пред­став­ле­ния­ми.

Важ­ная роль Б. д. р. в пре­дель­ных тео­ре­мах тео­рии ве­ро­ят­но­стей свя­за­на с тем, что эти и толь­ко эти рас­пре­де­ле­ния мо­гут быть пре­дель­ны­ми для сумм не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин, под­чи­нён­ных тре­бо­ва­нию т. н. асим­пто­тич. пре­неб­ре­гае­мо­сти (см. Се­рий схе­ма).

Важ­ным ча­ст­ным слу­ча­ем Б. д. р. яв­ля­ют­ся ус­той­чи­вые рас­пре­де­ле­ния.