ВИ́НЕРОВСКИЙ ПРОЦЕ́СС

ВИ́НЕРОВСКИЙ ПРОЦЕ́СС, слу­чай­ный про­цесс, слу­жа­щий ма­те­ма­тической мо­де­лью бро­унов­ско­го дви­же­ния. В. п. оп­ре­де­ля­ет­ся как слу­чай­ный про­цесс $X(t)$ с не­пре­рыв­ным вре­ме­нем $t ∈T$ (обыч­но $T = [0, ∞)\: или\: T = [0, 1])$ с $X(0) = 0$, при­ра­ще­ния ко­то­ро­го за не­пе­ре­се­каю­щие­ся про­ме­жут­ки вре­ме­ни вза­им­но не­за­ви­си­мы, при этом $X(s + t) - X(s)$ при лю­бом $s$ име­ет нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние с ну­ле­вым ма­те­ма­тич. ожи­да­ни­ем и дис­пер­си­ей $t$. Та­кой В. п. на­зы­ва­ет­ся стан­дарт­ным. Про­из­воль­ный В. п., у ко­то­ро­го при­ра­ще­ния за вре­мя $t$ рас­пре­деле­ны с ма­те­ма­тич. ожи­да­ни­ем $θt$ и дис­пер­си­ей $σ^2t$, ли­ней­но пре­об­ра­зу­ет­ся к стан­дарт­но­му В. п.; $θ$ и $σ^2$ на­зы­ва­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но ко­эф­фи­ци­ен­та­ми сно­са и диф­фу­зии. В. п. в тер­ми­нах об­щей клас­си­фи­ка­ции слу­чай­ных про­цес­сов яв­ля­ет­ся од­но­род­ным мар­ков­ским про­цес­сом с не­пре­рыв­ным вре­ме­нем и не­пре­рыв­ным про­стран­ст­вом со­стоя­ний. Плот­ность $p(t; x, y)$ пе­ре­ход­ной ве­ро­ят­но­сти В. п. (ха­рак­те­ри­зую­щая пе­ре­ход из $x$ в $y$ за вре­мя $t$) пред­став­ля­ет со­бой един­ст­вен­ное ре­ше­ние урав­не­ния диф­фу­зии $$\frac{\partial p}{\partial t}=\frac{1}{2} \frac{\partial ^2p}{\partial x^2}$$и рав­на$$p(t;x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-(y-x)^2/(2t)}.$$

Для лю­бых $n$ и $0 < t_1 < … < t_n < T$ со­вме­ст­ное рас­пре­де­ле­ние слу­чай­ных ве­ли­чин $X(t_1), …, X(t_n)$ нор­маль­но.

Пер­вая стро­гая тео­рия про­цес­са бро­унов­ско­го дви­же­ния бы­ла да­на Н. Ви­не­ром (1918–23).