ПУАССО́НОВСКИЙ ПРОЦЕ́СС

ПУАССО́НОВСКИЙ ПРОЦЕ́СС, слу­чай­ный про­цесс, опи­сы­ваю­щий мо­мен­ты на­сту­п­ле­ния к.-л. слу­чай­ных со­бы­тий, в ко­то­ром чис­ло со­бы­тий, про­ис­хо­дя­щих в те­че­ние лю­бо­го фик­си­ро­ван­но­го ин­тер­ва­ла вре­ме­ни, име­ет рас­пре­де­ле­ние Пу­ас­со­на, и при­ра­ще­ния про­цес­са на не­пе­ре­се­каю­щих­ся ин­тер­ва­лах вре­ме­ни не­за­ви­си­мы. Для П. п. $X_t, t⩾0$, $$\sf{P}\it \{X_t-X_s=k \}=\frac{\rm (Λ(t)-Λ(s))^k}{k!}e^{\rm -(Λ(t)-Λ(s))}\tag{*}$$ для всех $0⩽s⩽t$, $k=0,1,2,...,$ где $Λ(t)$, $t⩾0$, – про­из­воль­ная не­убы­ваю­щая функ­ция (т. н. ве­ду­щая функ­ция П. п.). Для од­но­род­но­го П. п., т. е. в слу­чае, ко­гда ле­вая часть (*) за­ви­сит лишь от раз­но­сти $t-s$, функ­ция $Λ(t)-Λ(0)=λt$ с не­ко­то­рой по­сто­ян­ной $λ>0$, ин­тер­ва­лы $τ_n-τ_{n-1}$ ме­ж­ду со­сед­ни­ми мо­мен­та­ми по­яв­ле­ния со­бы­тий не­за­ви­си­мы и име­ют по­ка­за­тель­ное рас­пре­де­ле­ние с плот­но­стью $λe^{–λt},\,t⩾0$. Для П. п. мо­мент на­сту­п­ле­ния оче­ред­но­го слу­чай­но­го со­бы­тия по­сле лю­бо­го фик­си­ро­ван­но­го мо­мен­та вре­ме­ни не за­ви­сит от на­сту­п­ле­ния со­бы­тий до это­го мо­мен­та, т. е. П. п. яв­ля­ет­ся мар­ков­ским про­цес­сом. Ес­ли име­ет­ся мно­го не­за­ви­си­мых про­цес­сов, опи­сы­ваю­щих мо­мен­ты на­сту­п­ле­ния не­ко­то­рых ред­ких слу­чай­ных со­бы­тий, то сум­мар­ный про­цесс при оп­ре­де­лён­ных ус­ло­ви­ях яв­ля­ет­ся пу­ас­со­нов­ским про­цес­сом.

Лит. см. при ст. Пуассона формула сум­ми­рования.