СВЁРТКА ФУ́НКЦИЙ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
СВЁРТКА ФУ́НКЦИЙ $f$ и $g$, новая функция $$h(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y) g(y) dy.$$ Операция над функциями, задаваемая этим интегралом, также называется свёрткой и обозначается $f*g$. Если $f$ и $g$ – плотности распределений вероятностей независимых случайных величин $X$ и $Y$, то $h$ является плотностью распределения вероятностей суммы $X+Y$. С. ф. распределения $F$ и $G$ называется функция $$H(x) = \int_{-\infty}^{\infty} F(x-y) dG(y),\tag{*}$$ где интеграл понимается в смысле Стилтьеса. Операция, задаваемая этим интегралом, обозначается $F*G$ и также называется свёрткой. Если $F$ и $G$ – функции распределения независимых случайных величин $X$ и $Y$, то $H(x)=(F*G)(x)$ является функцией распределения суммы $X+Y$. Если $Y$ принимает только значения $y_1, y_2, ...$ с вероятностями $q_1, q_2, ...,$ то интеграл в (*) сводится к сумме $$H(x) = \sum_{k \geqslant 1} q_k F(x-y_k).$$ и Операции свёртки коммутативны и ассоциативны, поэтому естественным образом определяется, напр., многократная свёртка $F^{*n}$ одинаковых функций распределения $F$, которая является функцией распределения суммы $X_1+...+X_n$ независимых случайных величин с общей функцией распределения $F$, и справедливо, напр., равенство $$F^{*n} - G^{*n} = \sum_{j=0}^{n-1} F^{*(n-j-1)} * G^{*j} * (F-G),$$ которое является аналогом соответствующего равенства для степеней чисел.
Вычисления свёрток, особенно многократных, связаны с очень большими трудностями, которые делают эти вычисления практически невозможными. Поэтому для изучения распределений сумм независимых случайных величин обычно используются обходные пути, на которых свёртки не вычисляются. Один из таких путей связан с использованием характеристических функций. С. ф. иногда называют композицией.