БИНОМИА́ЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ

БИНОМИА́ЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ, рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей чис­ла по­яв­ле­ний не­ко­то­ро­го со­бы­тия при не­за­ви­си­мых ис­пы­та­ни­ях (опы­тах) в Бер­нул­ли схе­ме. Ес­ли при ка­ж­дом ис­пы­та­нии ве­ро­ят­ность по­яв­ле­ния со­бы­тия $A$ рав­на $p, \ 0⩽p⩽1,$ то чис­ло $X$ по­яв­ле­ний это­го со­бы­тия (чис­ло ус­пе­хов) при $n$ не­за­ви­си­мых ис­пы­та­ни­ях есть слу­чай­ная ве­ли­чи­на, при­ни­маю­щая зна­че­ния $m=0, 1, 2,…, n$ с ве­ро­ят­но­стя­ми $$\mathsf P\{X=m\}=C_n^mp^mq^{n–m},$$ где $q=1-p$, а $C_n^m=n!/(m!(n-m)!)$ – бино­ми­аль­ные ко­эф­фи­ци­ен­ты (от­сю­да на­зва­ние Б. р.). Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние $\mathsf E(X)$ и дис­пер­сия $\mathsf D(X)$ ве­ли­чи­ны $X$, имею­щей Б. р., рав­ны $\mathsf E(X)=np$ и $\mathsf D(X)=npq$ со­от­вет­ст­вен­но. При боль­ших $n$, в си­лу тео­ре­мы Ла­п­ла­са, Б. р. близ­ко к нор­маль­но­му рас­пре­де­ле­нию, чем и поль­зу­ют­ся на прак­ти­ке. При не­боль­ших $n$ мож­но ис­поль­зо­вать таб­ли­цы Б. р. или пря­мые вы­чис­ле­ния.