МОМЕ́НТ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
МОМЕ́НТ случайной величины, числовая характеристика распределения вероятностей. М. порядка $k, k$ – натуральное число, действительной случайной величины $X$ определяется как математическое ожидание $\mathsf E X^k$ случайной величины $X^k$, если оно существует. Если $F(x)$ – функция распределения случайной величины $X$, то $$\mathsf E X^k=\int \limits _{-\infty}^\infty x^kdF(x)$$ при условии, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если $X$ принимает значения $x_1,x_2,...$ с вероятностями $p_1,p_2,...,$ то $$\mathsf E X^k=\sum \limits _{k=1}^\infty x^kp_k$$при условии, что ряд сходится абсолютно; если распределение $X$ имеет плотность $p(x)$, то $$\mathsf E X^k=\int \limits _{-\infty}^\infty x^kp(x)dx$$ при условии, что интеграл сходится абсолютно.
Величина $\mathsf E(X-a)^k$ называется моментом порядка $k$ относительно $a$, $\mathsf E(X-\mathsf EX)^k$ – центральным моментом порядка $k$. Центральный М. 2-го порядка $\mathsf E(X-\mathsf EX)^2$ называется дисперсией и обозначается $\mathsf D X$. Величина $\mathsf E |X|^ k, k$ – положительное число, называется абсолютным моментом случайной величины $X$ порядка $k$. По определению считается, что М. и абсолютный М. нулевого порядка любой случайной величины равны единице.
Для абсолютных моментов справедливо неравенство Ляпунова $(\mathsf E |X|^s)^{1/s}{⩽}(\mathsf E|X|^k)^{1/k}$, при $0{<}s{<}k$, полученное А. М. Ляпуновым (1900), из которого следует, в частности, что из существования момента порядка $k$ следует существование всех моментов меньших порядков.
М. порядка $k$ совместного (многомерного) распределения случайных величин $X_1,...,X_n$ определяется как $\mathsf E(X _1^{k_1} ...X_n^{k_n})$, где $k_i, i=1,...,n,$ – неотрицательные целые числа, $k_1+...+k_n=k$, и называется смешанным моментом порядка $k$, а $\mathsf E(X_1-\mathsf EX_1)^{k_1}...(X_n-\mathsf EX_n)^{k_n}$ – центральным смешанным моментом порядка $k$. Смешанный М. $\mathsf E(X_1-\mathsf EX_1)(X_2-\mathsf EX_2)$ называется ковариацией и служит одной из осн. характеристик зависимости между случайными величинами.
Если известны М. распределения, то можно сделать некоторые утверждения о вероятностях отклонения случайной величины от её математич. ожидания в терминах неравенств; наиболее известны Чебышева неравенство $$\mathsf P \{ |X-\mathsf EX|{⩾}ε \} {⩽} \frac{\mathsf D X}{ε^2}, \qquad ε{>}0,$$ и его обобщения. Значения моментов случайных величин входят в формулировки мн. утверждений теории вероятностей.
Задача, состоящая в определении распределения вероятностей последовательностью его М., носит назв. проблемы моментов. Эта задача впервые рассматривалась П. Л. Чебышевым (1874) в связи с исследованиями по предельным теоремам теории вероятностей. Для того чтобы распределение вероятностей случайной величины однозначно определялось своими М. $α_k=\mathsf EX^k, k=1,2,...,$ достаточно, напр., выполнения условия Карлемана $$\sum_{k=1}^\infty (α_{2k})^{-1/(2k)}={\infty}.$$Одним из простейших примеров распределения, которое не определяется однозначно своими М., является логарифмически-нормальное распределение.
В математич. статистике для статистич. оценки параметров распределения служат выборочные моменты (см. Выборочная характеристика).