МОМЕ́НТ

МОМЕ́НТ случайной величины, чи­сло­вая ха­рак­те­ри­сти­ка рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей

. М. по­ряд­ка $k, k$ – на­ту­раль­ное чис­ло, дей­ст­ви­тель­ной слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$ оп­ре­де­ля­ет­ся как ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние

 >>

 $\mathsf E X^k$ слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X^k$, ес­ли оно су­ще­ст­ву­ет. Ес­ли $F(x)$ – функ­ция рас­пре­де­ле­ния слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$, то $$\mathsf E X^k=\int \limits _{-\infty}^\infty x^kdF(x)$$ при ус­ло­вии, что ин­те­грал схо­дит­ся аб­со­лют­но. В ча­ст­но­сти, ес­ли $X$ при­ни­мает зна­че­ния $x_1,x_2,...$ с ве­ро­ят­но­стя­ми $p_1,p_2,...,$ то $$\mathsf E X^k=\sum \limits _{k=1}^\infty x^kp_k$$ при ус­ло­вии, что ряд схо­дит­ся аб­со­лют­но; ес­ли рас­пре­де­ле­ние $X$ име­ет плот­ность $p(x)$, то $$\mathsf E X^k=\int \limits _{-\infty}^\infty x^kp(x)dx$$  при ус­ло­вии, что ин­те­грал схо­дит­ся аб­со­лют­но.

Ве­ли­чи­на $\mathsf E(X-a)^k$ на­зы­ва­ет­ся мо­мен­том по­ряд­ка $k$ от­но­си­тель­но $a$, $\mathsf E(X-\mathsf EX)^k$ – цен­траль­ным мо­мен­том по­ряд­ка $k$. Цен­траль­ный М. 2-го по­ряд­ка $\mathsf E(X-\mathsf EX)^2$ на­зы­ва­ет­ся дис­пер­си­ей

и обо­зна­ча­ет­ся $\mathsf D X$. Ве­ли­чи­на $\mathsf E |X|^ k, k$ – по­ло­жи­тель­ное чис­ло, на­зы­ва­ет­ся аб­со­лют­ным мо­мен­том слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$ по­ряд­ка $k$. По оп­ре­де­ле­нию счи­та­ет­ся, что М. и аб­со­лют­ный М. ну­ле­во­го по­ряд­ка лю­бой слу­чай­ной ве­ли­чи­ны рав­ны еди­ни­це.

Для аб­со­лют­ных мо­мен­тов спра­вед­ли­во не­ра­вен­ст­во Ля­пу­но­ва $(\mathsf E |X|^s)^{1/s}{⩽}(\mathsf E|X|^k)^{1/k}$, при $0{<}s{<}k$, по­лу­чен­ное А. М. Ляпу­но­вым

­ (1900), из ко­то­ро­го сле­ду­ет, в част­но­сти, что из су­щест­во­вания мо­мен­та по­ряд­ка $k$ сле­ду­ет су­щест­во­ва­ние всех мо­мен­тов мень­ших по­ряд­ков.

М. по­ряд­ка $k$ со­вме­ст­но­го (мно­го­мер­но­го) рас­пре­де­ле­ния слу­чай­ных ве­ли­чин $X_1,...,X_n$ оп­ре­де­ля­ет­ся как $\mathsf E(X _1^{k_1} ...X_n^{k_n})$, где $k_i, i=1,...,n,$ – не­от­ри­ца­тель­ные целые чис­ла, $k_1+...+k_n=k$, и на­зы­ва­ет­ся сме­шан­ным мо­мен­том по­ряд­ка $k$, а $\mathsf E(X_1-\mathsf EX_1)^{k_1}...(X_n-\mathsf EX_n)^{k_n}$ – цен­траль­ным сме­шан­ным мо­мен­том по­ряд­ка $k$. Сме­шан­ный М. $\mathsf E(X_1-\mathsf EX_1)(X_2-\mathsf EX_2)$ на­зы­ва­ет­ся ко­ва­риа­ци­ей

и слу­жит од­ной из осн. ха­рак­те­ри­стик за­ви­си­мо­сти ме­ж­ду слу­чай­ны­ми ве­ли­чи­на­ми.

Ес­ли из­вест­ны М. рас­пре­де­ле­ния, то мож­но сде­лать не­ко­то­рые ут­вер­жде­ния о ве­ро­ят­но­стях от­кло­не­ния слу­чай­ной ве­ли­чи­ны от её ма­те­ма­тич. ожи­да­ния в тер­ми­нах не­ра­венств; наи­бо­лее из­вест­ны Че­бы­ше­ва не­ра­вен­ст­во

  $$\mathsf P \{ |X-\mathsf EX|{⩾}ε \} {⩽} \frac{\mathsf D X}{ε^2}, \qquad ε{>}0,$$  и его обоб­ще­ния. Зна­че­ния мо­мен­тов слу­чай­ных ве­ли­чин вхо­дят в фор­му­ли­ров­ки мн. ут­вер­жде­ний тео­рии ве­ро­ят­но­стей.

За­да­ча, со­стоя­щая в оп­ре­де­ле­нии рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей по­сле­до­ва­тель­но­стью его М., но­сит назв. про­бле­мы мо­мен­тов. Эта за­да­ча впер­вые рас­смат­ри­ва­лась П. Л. Че­бы­ше­вым

(1874) в свя­зи с ис­сле­до­ва­ния­ми по пре­дель­ным тео­ре­мам тео­рии ве­ро­ят­но­стей. Для то­го что­бы рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей слу­чай­ной ве­ли­чи­ны од­но­знач­но оп­ре­де­ля­лось свои­ми М. $α_k=\mathsf EX^k, k=1,2,...,$ дос­та­точ­но, напр., вы­пол­не­ния ус­ло­вия Кар­ле­ма­на $$\sum_{k=1}^\infty (α_{2k})^{-1/(2k)}={\infty}.$$ Од­ним из про­стей­ших при­ме­ров рас­пре­де­ле­ния, ко­то­рое не оп­ре­де­ля­ет­ся од­но­знач­но свои­ми М., яв­ля­ет­ся ло­га­риф­ми­че­ски-нор­маль­ное рас­пре­де­ле­ние

 >>

.

В ма­те­ма­тич. ста­ти­сти­ке для ста­ти­стич. оцен­ки па­ра­мет­ров рас­пре­де­ле­ния слу­жат вы­бо­роч­ные мо­мен­ты (см. Вы­бо­роч­ная характеристика

).