Processing math: 100%
Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

КАЛИБРО́ВОЧНАЯ СИММЕ́ТРИ́Я

  • рубрика

    Рубрика: Физика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 12. Москва, 2008, стр. 499

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:


    Книжная версия:



    Электронная версия:

Авторы: Д. И. Дьяконов

КАЛИБРО́ВОЧНАЯ СИММЕ́ТРИ́Я (ка­либ­ро­воч­ная ин­ва­ри­ант­ность), прин­цип, со­глас­но ко­то­ро­му на­блю­дае­мые фи­зич. ве­ли­чи­ны не из­ме­ня­ют­ся при оп­ре­де­лён­ных пре­об­ра­зо­ва­ни­ях по­лей; при этом пре­об­ра­зо­ва­ния мо­гут раз­ли­чать­ся в раз­ных точ­ках про­стран­ст­ва и вре­ме­ни. К. с. яв­ля­ет­ся цен­траль­ным по­ня­ти­ем фун­дам. тео­рии ма­те­рии, т. к. все из­вест­ные фун­дам. взаи­мо­дей­ст­вия – силь­ное, элек­тро­маг­нит­ное, сла­бое и гра­ви­та­ци­он­ное – ос­но­ва­ны на этом прин­ци­пе.

По­ня­тие К. с. воз­ни­ка­ет уже в клас­сич. элек­тро­ди­на­ми­ке, урав­не­ния ко­то­рой для ска­ляр­но­го φ и век­тор­но­го A элек­тро­маг­нит­ных по­тен­циа­лов не из­ме­ня­ют­ся (т. е. сим­мет­рич­ны, или ин­ва­ри­ант­ны) при сдви­ге по­тен­циа­лов на про­из­вод­ные от про­из­воль­ной функ­ции f(t,x,y,z) вре­ме­ни t и ко­ор­ди­нат x,y,z: φφ1cf(t,x,y,z)t, AA+f(t,x,y,z),(1)  где  – гра­ди­ент функ­ции, c – ско­рость све­та. Пре­об­ра­зо­ва­ние (1) на­зы­ва­ет­ся ка­либ­ро­воч­ным пре­об­ра­зо­ва­ни­ем в элек­тро­ди­на­ми­ке. К. с. в элек­тро­ди­на­ми­ке про­яв­ля­ет­ся в том, что Мак­с­вел­ла урав­не­ния

 >>
, за­пи­сан­ные толь­ко через на­пря­жён­но­сти элек­три­че­ско­го E=(1/c)A/tφ и маг­нит­но­го H= rot  A по­лей, не ме­ня­ют­ся при пре­об­ра­зо­ва­нии (1). На­блю­дае­мы­ми ве­ли­чи­на­ми яв­ля­ют­ся ка­либ­ро­воч­но-ин­ва­ри­ант­ные на­пря­жён­но­сти E и H (и функ­ции от них), но не по­тен­циа­лы φ и A, ме­няю­щие­ся при ка­либ­ро­воч­ном пре­об­ра­зо­ва­нии. Впер­вые К. с. клас­сич. элек­т­ро­ди­на­ми­ки, т. е. ин­ва­ри­ант­ность от­но­си­тель­но пре­об­ра­зо­ва­ния (1), бы­ла сфор­му­ли­ро­ва­на Х. А. Ло­рен­цем
 >>
в 1904.

В кван­то­вой элек­тро­ди­на­ми­ке

 >>
пре­об­ра­зо­ва­ние (1) до­пол­ня­ет­ся ум­но­же­ни­ем вол­но­вой функ­ции ψ(t,x,y,z) за­ря­жен­ной час­ти­цы на фа­зо­вый мно­жи­тель:ψexp(ief(t,x,y,z)c)ψ,(2) где e – за­ряд элек­тро­на,  – по­сто­ян­ная План­ка, i – мни­мая еди­ни­ца, f(t,x,y,z) – та же функ­ция, что и в пре­об­ра­зо­ва­нии (1). Ин­ва­ри­ант­ность ре­ля­ти­ви­ст­ско­го вол­но­во­го урав­не­ния для за­ря­жен­ной час­ти­цы со спи­ном 0 (Клей­на – Фо­ка – Гор­до­на урав­не­ния
 >>
) от­но­си­тель­но со­вме­ст­ных пре­об­ра­зо­ва­ний (1) и (2) бы­ла ус­та­нов­ле­на В. А. Фо­ком
 >>
(1926) и на­зва­на им гра­ди­ент­ной ин­ва­ри­ант­но­стью. Бо­лее рас­про­стра­нён­ные тер­ми­ны «ка­либ­ро­воч­ная ин­ва­ри­ант­ность» или «К. с.» вве­де­ны Г. Вей­лем
 >>
(1929), ко­то­рый впер­вые сфор­му­ли­ро­вал К. с. как ос­но­во­по­ла­гаю­щий прин­цип по­строе­ния тео­рии.

В тео­рии Ян­га – Мил­лса по­лей

 >>
, ле­жа­щей в ос­но­ве стан­дарт­ной мо­де­ли
 >>
силь­но­го и элек­тро­сла­бо­го взаи­мо­дей­ст­вий, вме­сто од­ной за­ря­жен­ной час­ти­цы фи­гу­ри­ру­ет муль­ти­плет из не­сколь­ких час­тиц. Обоб­ще­ни­ем ка­либ­ро­воч­но­го пре­об­ра­зо­ва­ния (2) в этом слу­чае яв­ля­ет­ся пре­об­ра­зо­ва­ние, в ко­то­ром по­ля час­тиц ψi(t,x,y,z), вхо­дя­щих в один муль­ти­плет, пре­об­ра­зу­ют­ся друг че­рез дру­га с по­мо­щью мат­ри­цы U(t,x,y,z): ψiU(t,x,y,z)ijψi,(3) где ин­дек­сы i,j ну­ме­ру­ют час­ти­цы в муль­ти­пле­те; по по­вто­ряю­щим­ся ин­дек­сам под­ра­зу­ме­ва­ет­ся сум­ми­ро­ва­ние. По­ля Ян­га – Мил­лса Aμ(t,x,y,z)ij  (μ=0,1,2,3), пред­став­ляю­щие со­бой мат­рич­ное обоб­ще­ние элек­тро­маг­нит­ных по­тен­циа­лов, пре­об­ра­зу­ют­ся с по­мо­щью той же мат­ри­цы U(t,x,y,z): (Aμ)ijUik(Aμ)kl(U1)lj+iUik(U1)klxμ,(4) где xμ=(t,x,y,z), что яв­ля­ет­ся обоб­ще­ни­ем пре­об­ра­зо­ва­ния (1). (Для крат­ко­сти за­пи­си здесь и ни­же ис­поль­зу­ет­ся сис­те­ма еди­ниц =c=1.) Ес­ли в мат­ри­цу пре­об­ра­зо­ва­ния U вхо­дит n не­за­ви­си­мых функ­ций вре­ме­ни и ко­ор­ди­нат, то и не­за­ви­си­мых по­лей Ян­га – Милл­са Aμ долж­но быть n. В ча­ст­ном слу­чае, ко­гда U есть про­сто фа­зо­вый мно­жи­тель (2), ха­рак­те­ри­зуе­мый од­ной функ­ци­ей, ка­либ­ро­воч­ное по­ле Aμ толь­ко од­но. Этот слу­чай от­ве­ча­ет абе­ле­вой, или U(1), К. с. В бо­лее об­щем слу­чае мат­ри­цы U при­над­ле­жат пред­став­ле­нию не­абе­ле­вой груп­пы Ли, ха­рак­тер­ным свой­ст­вом ко­то­рой яв­ля­ет­ся не­ком­му­та­тив­ность двух пре­об­ра­зо­ва­ний (см. в ст. Ком­му­та­тив­ность
 >>
). В об­щем слу­чае К. с. – это ин­ва­ри­ант­ность на­блю­дае­мых ве­ли­чин при не­абе­ле­вых (т. е. не ком­му­ти­рую­щих ме­ж­ду со­бой) пре­об­ра­зо­ва­ни­ях (3) и (4).

В ча­ст­но­сти, мик­ро­ско­пич. тео­рия силь­но­го взаи­мо­дей­ст­вия – кван­то­вая хро­мо­ди­на­ми­ка

 >>
 – ос­но­ва­на на прин­ци­пе К. с. Фун­дам. со­став­ляю­щие ма­те­рии – квар­ки
 >>
 – ха­рак­те­ри­зу­ют­ся, по­ми­мо про­че­го, цве­том, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся на­блю­дае­мым, но мо­жет при­ни­мать три зна­че­ния. Прин­цип К. с. со­сто­ит в том, что по­ле квар­ка дан­но­го цве­та мож­но за­ме­нить в ка­ж­дой точ­ке про­стран­ст­ва-вре­ме­ни на ли­ней­ную ком­би­на­цию по­лей квар­ков дру­го­го цве­та, и это не долж­но при­во­дить к на­блю­дае­мым по­след­ст­ви­ям. Ины­ми сло­ва­ми, на­блю­дае­мы­ми яв­ля­ют­ся толь­ко ка­либ­ро­воч­но-ин­ва­ри­ант­ные ве­ли­чи­ны, не ме­няю­щие­ся при пре­об­ра­зо­ва­ни­ях (3) и (4), в ко­то­рых U – уни­тар­ная 3×3-мат­ри­ца с еди­нич­ным де­тер­ми­нан­том, реа­ли­зую­щая фун­дам. пред­став­ле­ние груп­пы SU(3). Ана­ло­гич­но, стан­дарт­ная мо­дель еди­но­го элек­тро­маг­нит­но­го и сла­бо­го взаи­мо­дей­ст­вия ос­но­ва­на на К. с. от­но­си­тель­но пре­об­ра­зо­ва­ний (3) и (4) для груп­пы SU(2)×SU(1); в этом слу­чае, од­на­ко, К. с. долж­на быть спон­тан­но на­ру­ше­на. Ус­пех стан­дарт­ной мо­де­ли в опи­са­нии со­тен свойств эле­мен­тар­ных час­тиц не ос­тав­ля­ет со­мне­ний в том, что прин­цип К. с. реа­ли­зу­ет­ся в при­ро­де.

Тео­рия гра­ви­тац. взаи­мо­дей­ст­вия так­же ос­но­ва­на на прин­ци­пе К. с., а имен­но на прин­ци­пе об­щей ко­ва­ри­ант­но­сти. Со­глас­но А. Эйн­штей­ну

 >>
, за­ко­ны гра­ви­та­ции не долж­ны ме­нять­ся в за­ви­си­мо­сти от то­го, ка­кие про­стран­ст­вен­но-вре­мен­ны́е ко­ор­ди­на­ты xμ(μ=0,1,2,3) при­ме­ня­ют­ся для их опи­са­ния. Ины­ми сло­ва­ми, ко­ор­ди­на­ты xμ мож­но за­ме­нить но­вы­ми пе­ре­мен­ны­ми xμ, ко­то­рые пред­став­ля­ют со­бой че­ты­ре про­из­воль­ные (но диф­фе­рен­ци­руе­мые) функ­ции ста­рых пе­ре­мен­ных: xμ=(t,x,y,z)xμ(t,x,y,z).(5) Тре­бо­ва­ние сим­мет­рии за­ко­нов гра­ви­тации от­но­си­тель­но пре­об­ра­зо­ва­ния (5) ве­дёт к об­щей тео­рии от­но­си­тель­но­сти
 >>
(см. так­же Кван­то­вая тео­рия тя­го­те­ния
 >>
).

Во всех слу­ча­ях К. c. со­сто­ит в ин­ва­ри­ант­но­сти фи­зи­че­ски на­блю­дае­мых ве­ли­чин при пре­об­ра­зо­ва­ни­ях, яв­ляю­щих­ся про­из­воль­ны­ми функ­ция­ми про­стран­ст­вен­но-вре­менны́х координат, т. е. функ­ция­ми, ко­то­рые мо­гут ме­нять­ся от точ­ки к точ­ке. Та­кая сим­мет­рия на­зы­ва­ет­ся ло­каль­ной, в про­ти­во­по­лож­ность гло­баль­ной сим­мет­рии, ко­гда ин­ва­ри­ант­ность име­ет ме­сто толь­ко от­но­си­тель­но еди­но­го во всём про­стран­ст­ве пре­об­ра­зо­ва­ния. Ло­каль­ная сим­мет­рия, ес­те­ст­вен­но, зна­чи­тель­но мощ­нее гло­баль­ной.

Тре­бо­ва­ние К. c. по­зво­ля­ет прак­ти­че­ски од­но­знач­но сфор­му­ли­ро­вать со­от­вет­ст­вую­щую тео­рию ка­либ­ро­воч­ных по­лей

 >>
. По­сколь­ку тео­рия за­да­ёт­ся ла­гран­жиа­ном
 >>
или дей­ст­ви­ем, не­об­хо­ди­мо по­стро­ить ка­либ­ро­воч­но-сим­мет­рич­ное дей­ст­вие, т. е. дей­ст­вие, ин­ва­ри­ант­ное от­но­си­тель­но пре­об­ра­зо­ва­ний (3), (4) для тео­рии Ян­га – Мил­лса и кван­то­вой элек­тро­ди­на­ми­ки или пре­об­ра­зо­ва­ния (5) – для тео­рии гра­ви­та­ции. Во всех слу­ча­ях при по­строе­нии ин­ва­ри­ант­но­го дей­ст­вия воз­ни­ка­ет по­ня­тие ко­ва­ри­ант­ной про­из­вод­ной, в ко­то­рой обыч­ная про­из­вод­ная по­лей по вре­ме­ни и ко­ор­ди­на­там сдви­га­ет­ся на ка­либ­ро­воч­ное по­ле: (μ)ij=δijxμi(Aμ)ij,(6) гдеδij – еди­нич­ная мат­ри­ца. От­ли­чит. свой­ст­вом ко­ва­ри­ант­ной про­из­вод­ной яв­ля­ет­ся то, что при ка­либ­ро­воч­ном пре­об­ра­зо­ва­нии (4) она пре­об­ра­зу­ет­ся од­но­род­но, т. е. про­сто «вра­ща­ет­ся» мат­ри­цей U:μUμU1. Этим же свой­ст­вом об­ла­да­ет лю­бая це­поч­ка из ко­ва­ри­ант­ных про­из­вод­ных и, в ча­ст­но­сти, ком­му­та­тор [μν]=μννμ=i(AνxμAμxνi[AμAν])iFμν.(7)  Ра­вен­ст­во (7) оп­ре­де­ля­ет ан­ти­сим­мет­рич­ный тен­зор на­пря­жён­но­стей по­ля Ян­га – Мил­лса, пред­став­ляю­щих со­бой обоб­ще­ние элек­три­че­ской E и маг­нит­ной H на­пря­жён­но­стей элек­тро­маг­нит­но­го по­ля. Сле­ду­ет от­ме­тить, что, в от­ли­чие от по­след­них, на­пря­жён­ность по­ля Ян­га – Мил­лса не­ли­ней­на по по­лям.

В слу­чае абе­ле­вой К. с. мат­ри­ца ка­либ­ро­воч­но­го пре­об­ра­зо­ва­ния U сво­дит­ся к фа­зо­во­му мно­жи­те­лю, по­это­му на­пря­жён­но­сти по­ля уже са­ми яв­ля­ют­ся ка­либ­ро­воч­ны­ми ин­ва­ри­ан­та­ми. В не­абе­ле­вом слу­чае это не так, тем не ме­нее из на­пря­жён­но­стей по­лей Ян­га – Мил­лса мож­но по­стро­ить ка­либ­ро­воч­но-ин­ва­ри­ант­ные ве­ли­чи­ны. При­ме­ром вы­ра­же­ния, не ме­няю­ще­го­ся при ка­либ­ро­воч­ном пре­об­ра­зо­ва­нии (4), яв­ля­ет­ся след от квад­ра­та мат­ри­цы на­пря­жён­но­сти, Tr(FμνFμν). Фак­ти­че­ски имен­но это вы­ра­же­ние и ис­поль­зу­ет­ся в ка­че­ст­ве ла­гран­жиа­на по­лей Ян­га – Мил­лса. Ка­либ­ро­воч­ные по­ля Aμ вхо­дят в этот ла­гран­жи­ан во вто­рой, треть­ей и чет­вёр­той сте­пе­нях; на­ли­чие треть­ей и чет­вёр­той сте­пе­ней ука­зы­ва­ет на взаи­мо­дей­ст­вие по­лей Ян­га – Мил­лса ме­ж­ду со­бой.

Что­бы по­стро­ить ка­либ­ро­воч­но-ин­ва­ри­ант­ный ла­гран­жи­ан в тео­рии гра­ви­та­ции, ко­то­рый был бы ин­ва­ри­ан­тен от­но­си­тель­но об­щей за­ме­ны вре­ме­ни и ко­ор­ди­нат (5), так­же вво­дят ко­ва­ри­ант­ные про­из­вод­ные (μ)ϰλ=δϰλxμ+Γϰλμ(8) (где Γ  – сим­вол Кри­стоф­фе­ля, или связ­ность), ком­му­та­тор ко­то­рых оп­ре­де­ля­ет тен­зор кри­виз­ны про­стран­ст­ва-вре­ме­ни, или Ри­ма­на тен­зор (см. Ри­ма­но­ва гео­мет­рия

 >>
), яв­ляю­щий­ся ана­ло­гом тен­зо­ра на­пря­жён­но­сти по­ля Ян­га – Мил­лса: [μν]ϰλ=Rϰλμν.(9) Ме­ж­ду урав­не­ния­ми (6) и (8), а так­же (7) и (9) име­ет­ся пря­мая ана­ло­гия, по­это­му по­ля Ян­га – Мил­лса на­зы­ва­ют ино­гда «связ­но­стью», а на­пря­жён­ность по­ля – «кри­виз­ной». Так же, как для по­лей Ян­га – Мил­лса, ка­либ­ро­воч­но-ин­ва­ри­ант­ный ла­гран­жи­ан для гра­ви­та­ции мож­но по­стро­ить из квад­ра­та тен­зо­ра кри­виз­ны, но в этом слу­чае су­ще­ст­ву­ют ин­ва­ри­ан­ты мень­шей раз­мер­но­сти: это кос­мо­ло­гич. член d4xg и ла­гран­жи­ан Эйн­штей­на – Гиль­бер­та d4xgR, где R – ска­ляр­ная кри­виз­на, g – де­тер­ми­нант мет­рич. тен­зо­ра. Оба чле­на об­ла­да­ют К. c. от­но­си­тель­но пре­об­ра­зо­ва­ния (5) и по­это­му до­пус­ти­мы (см. Тя­го­те­ние
 >>
, От­но­си­тель­но­сти тео­рия
 >>
).

Как в слу­чае гра­ви­тац. по­лей, так и по­лей Ян­га – Мил­лса, не­ком­му­та­тив­ность ка­либ­ро­воч­ных пре­об­ра­зо­ва­ний (4) и (5) при­во­дит к взаи­мо­дей­ст­вию по­лей друг с дру­гом, при­чём вид это­го взаи­мо­дей­ст­вия од­но­знач­но фик­си­ру­ет­ся тре­бо­ва­ни­ем К. c. Са­мо­дей­ст­вие ка­либ­ро­воч­ных по­лей пред­став­ля­ет наи­боль­шую труд­ность для тео­рии.

Вернуться к началу