КАЛИБРО́ВОЧНЫЕ ПОЛЯ́
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
КАЛИБРО́ВОЧНЫЕ ПОЛЯ́, квантовые поля, обладающие калибровочной симметрией (калибровочной инвариантностью). Примерами К. п. служат скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля, а также Янга – Миллса поля, в частности поле глюонов в квантовой хромодинамике и поля $W^±$- и $Z$-бозонов в стандартной модели. К классу К. п. относится и гравитационное поле.
Теория К. п. определяется лагранжианом, который для К. п. должен быть инвариантен (симметричен) относительно калибровочных преобразований этих полей. Калибровочные преобразования делятся на коммутативные (абелевы) и некоммутативные (неабелевы) в соответствии с тем, зависит ли результат двух последовательных калибровочных преобразований от их порядка. В квантовой электродинамике калибровочные преобразования абелевы, для остальных квантовых полей – неабелевы. В большинстве случаев лагранжиан выбирают так, чтобы соответствующая квантовая теория поля была перенормируемой (см. Перенормировки). При этом оказывается, что перенормировка константы взаимодействия в абелевой теории К. п. имеет характер, противоположный неабелевой теории: в первой эффективная константа взаимодействия растёт на малых пространственно-временны́х расстояниях, а во второй – убывает (см. Асимптотическая свобода). Поэтому в неабелевых теориях К. п. при описании явлений, в которых по той или иной причине определяющую роль играют малые расстояния, применяется теория возмущений по константе взаимодействия (т. н. слабая связь). Сравнение результатов таких вычислений с эксперим. данными позволяет заключить, что теория К. п. описывает эксперимент с высокой точностью.
К. п. сами по себе в природе не наблюдаются, поскольку содержат лишние – калибровочные – степени свободы. Так, потенциалы электромагнитного поля и поля Янга – Миллса $A_\textμ(x)$ определены только с точностью до калибровочного преобразования, а метрич. тензор $g_\text{μν}$ в квантовой теории гравитации определён с точностью до общековариантных преобразований (см. Калибровочная симметрия). Поэтому в большинстве вычислений наблюдаемых величин в теории К. п. необходимо прежде всего «фиксировать калибровку» полей, т. е. избавиться от лишних степеней свободы, от которых физич. величины не зависят. Фиксировать калибровку можно мн. способами (в зависимости от конкретной задачи выбор калибровки может быть более или менее удачен), но полностью «безобидной» фиксации калибровки, вероятно, не существует.
В неабелевой теории К. п. фиксация калибровки во многих случаях приводит к необходимости вводить в теорию новые вспомогат. степени свободы – т. н. дýхи Фаддеева – Попова, вклад которых следует вычитать при вычислении наблюдаемых. Однако этот метод возможен, по-видимому, только в рамках теории возмущений по константе взаимодействия; вне рамок этой теории возникает трудность в виде калибровочных неоднозначностей и калибровочных копий (В. Н. Грибов, 1977), проявляющихся в том, что одному условию фиксации калибровки отвечает много разл. калибровочных полей.
Развивая теорию К. п. вне рамок теории возмущений (в области сильной связи), К. Вильсон (1974) и независимо А. М. Поляков (1974), а также Дж. Когут и Л. Саскинд (США, 1975) предложили соответственно евклидову и гамильтонову формулировки теории К. п. «на решётке». Суть этой теории состоит в том, что непрерывное пространство заменяется дискретным (т. е. «решёткой»), а К. п. компактифицируются, так что теория непрерывных и неограниченных полей аппроксимируется конечным (хотя и очень большим) набором переменных, принимающих ограниченные значения (см. Решёточные теории поля). Аппроксимация становится точной в пределе малого шага решётки. В этом подходе нет необходимости фиксировать калибровочные степени свободы (хотя это и можно сделать) и появляется возможность изучать теорию методом компьютерного моделирования, в частности в областях, недоступных реальным экспериментам. Напр., можно произвольно менять группу Ли, на которой основана неабелева теория К. п., изменять число полей материи и их массы, изучать поведение теории в необычных условиях, таких как высокие температуры и плотности вещества. Хотя «решёточные вычисления» на компьютере не являются строгим доказательством в традиц. понимании, они дали весомую информацию о теории К. п. в области сильной связи, где обычная теория возмущений неприменима.
В др. теории К. п. – квантовой теории тяготения (гравитации) также используется компьютерное моделирование разнообразных триангуляций искривлённого пространства.
Общее свойство теорий К. п. (кроме квантовой электродинамики) состоит в том, что они взаимодействуют сами с собой, даже при отсутствии материи. Это следует из того, что уравнения движения (уравнения Эйлера – Лагранжа) нелинейны по полям. Поэтому для неабелевых К. п. характерны нетривиальные солитоноподобные классич. решения уравнений движения. В частности, в теории полей Янга – Миллса имеются решения нелинейных аналогов Максвелла уравнений в виде статич. монополей Богомольного – Прасада – Саммерфильда (БПС, 1975–76), а также зависящих от мнимого времени инстантонов (А. А. Белавин, А. М. Поляков, Ю. С. Тюпкин и А. С. Шварц, 1975). Позднее (1998) были обнаружены решения, обобщающие инстантоны на ненулевые температуры, и оказалось, что эти инстантоны «состоят» из монополей. Физич. смысл инстантонов в теории Янга – Миллса – это классич. траектории полей в мнимом времени, описывающие подбарьерный переход (см. Туннельный эффект) из одного минимума с нулевой потенциальной энергией полей в другой, причём в этих минимумах поле Янга – Миллса является «чистой калибровкой», $A_k\boldsymbol{(x)}=iU\boldsymbol{(x)}{\partial}U^{–1}(x)/{\partial}x^k, k = 1, 2, 3$. Здесь $U\boldsymbol{(x)}$ – унитарные матрицы с единичным детерминантом, характеризуемые нетривиальным гомотопическим классом, т. е. числом «намоток» при обходе всего трёхмерного пространства; $i$ – мнимая единица.
В квантовой теории К. п., флуктуирующих в пространстве и времени, классич. решения представляют собой седловые (перевальные) точки функционального интеграла по К. п., поэтому они могут играть определяющую роль при описании разл. явлений. Так, инстантоны в стандартной модели приводят к принципиальной возможности нарушения сохранения по отдельности числа лептонов и барионов (Г.’т Хофт, 1976), чем можно объяснить преобладание материи над антиматерией, возникшее спонтанно в процессе эволюции Вселенной (В. А. Кузьмин, В. А. Рубаков и М. Е. Шапошников, 1985).
В квантовой хромодинамике инстантоны играют существенную роль в важнейшем явлении сильных взаимодействий – спонтанном нарушении симметрии и спонтанном возникновении масс у лёгких кварков (Д. И. Дьяконов и В. Ю. Петров, 1984), а связанные с инстантонами монополи БПС объясняют, вероятно, др. свойство сильных взаимодействий – удержание цвета, или конфайнмент кварков, а также деконфайнмент кварков при темп-ре, выше некоторой критической. Эти соображения и соответствующие вычисления базируются на квазиклассич. подходе к теории К. п., правильность которого проверяется сравнением с экспериментом или с компьютерным моделированием «на решётке», но не является строго доказанной для большой константы взаимодействия.
Строгие математич. методы в области сильной связи теории К. п. пока неизвестны, и надо надеяться только на разработку методов, где искусственно создаётся «малый параметр», по которому можно развить теорию возмущений. Напр., значит. упрощения возникают в теории К. п., построенной на группе Ли большого ранга $N$; на этом основан метод 1/$N$-разложения (Г.’т Хофт, 1974; Э. Уиттен, США, 1979). К этому же разряду относится метод, основанный на суперсимметричной модификации теории К. п. (см. Суперсимметрия), в котором предполагается, что данная теория отличается от своей суперсимметричной версии на малый параметр нарушения суперсимметрии. Суперсимметричные теории К. п. обладают столь высокой симметрией, что в них можно получить много точных результатов. Напр., в простейшей суперсимметричной модификации квантовой хромодинамики вакуумный конденсат глюино (аналог экспериментально известного конденсата кварков) вычисляется точно. Другой, ещё более интересный пример: суперсимметричная теория К. п. с четырьмя суперзарядами оказывается эквивалентной некоторой струн теории, причём большая константа взаимодействия одной теории отвечает малой константе взаимодействия другой (Х. Малдасена, США, 1998). Работы мн. авторов (В. А. Казаков и др., Л. Н. Липатов и др., К. Л. Зарембо и др.) свидетельствуют в пользу того, что и данная теория К. п., и соответствующая теория струн точно решаются при любой величине константы взаимодействия. Эти идеи позволяют надеяться на то, что как суперсимметричные, так и несуперсимметричные теории К. п. можно будет изучать не только методом теории возмущений по константе взаимодействия, ставшим уже стандартным, но и в области сильной связи.
Поскольку стандартная модель и теория гравитации основаны на одном принципе (и та и другая представляют собой теорию К. п.), возникает естеств. мысль, что обе теории можно объединить в виде единой теории всех фундам. взаимодействий. Такое объединение, действительно, происходит в теории струн. Однако квантовая теория струн ещё не построена; неясен пока и механизм компактификации неизбежных «лишних» измерений пространства до наблюдаемых четырёх, а также механизм нарушения высокой симметрии струны до той симметрии, которая существует в природе. Поэтому рассматриваются и др. подходы к объединению теории гравитации и стандартной модели. В частности, квантовую теорию полей Янга – Миллса (на которой основана стандартная модель) можно тождественно переписать в терминах калибровочно-инвариантных переменных, которыми оказываются компоненты метрич. тензора пространства дуальных полей, а лагранжиан для этих полей включает лагранжиан Эйнштейна – Гильберта, как в теории гравитации (Р. Анишетти и др., Индия, 2000; Д. И. Дьяконов и В. Ю. Петров, 2002). В этом подходе квантовые теории гравитации и полей Янга – Миллса становятся не только концептуально, но и практически близкими. В любом случае следует ожидать, что Великое объединение всех фундам. взаимодействий произойдёт в духе теории калибровочных полей.