ТРИГОНОМЕТРИ́ЧЕСКИЙ РЯД

ТРИГОНОМЕТРИ́ЧЕСКИЙ РЯД, ряд по си­ну­сам и ко­си­ну­сам крат­ных дуг, то есть ряд ви­да$$\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx + b_k\sin kx)\tag{1}$$или (в ком­плекс­ной фор­ме)$$\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_ke^{ikx}.$$

Чис­ла $a_k$, $b_k$ или, со­от­вет­ст­вен­но, $c_k$ на­зы­ва­ют­ся ко­эф­фи­ци­ен­та­ми Т. р.

Впер­вые Т. р. встре­ча­ют­ся у Л. Эй­ле­ра (1744), ко­то­рый по­лу­чил раз­ло­же­ния$$\frac{π-x}{2}=\sin x+\frac{sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}+...,\\ 0 < x < 2π,\\ \frac{1-r\cos x}{1-2r\cos x + r^2}=\\=1+r\cos x+r^2\cos 2x+...,\\ \frac{r\sin x}{1-2r\cos x + r^2}=\\=r\sin x+r^2\sin 2x+...\,.$$

В сер. 18 в. в свя­зи с за­да­чей о сво­бод­ном ко­ле­ба­нии стру­ны воз­ник во­прос о пред­став­ле­нии функ­ции, ха­рак­те­ри­зую­щей на­чаль­ное по­ло­же­ние стру­ны, в ви­де сум­мы Т. р. Этот во­прос вы­звал про­дол­жав­шие­ся неск. де­ся­ти­ле­тий спо­ры луч­ших ана­ли­ти­ков то­го вре­ме­ни – Д. Бер­нул­ли, Ж. Д’Аламбера, Ж. Ла­гран­жа, Л. Эй­ле­ра. Спо­ры от­но­си­лись к со­дер­жа­нию по­ня­тия функ­ции. В то вре­мя функ­ции обыч­но свя­зы­ва­лись с их ана­ли­тич. за­да­ни­ем, что при­во­ди­ло к рас­смот­ре­нию толь­ко ана­ли­ти­че­ских или ку­соч­но ана­ли­тич. функ­ций. А здесь по­яви­лась не­об­хо­ди­мость пред­ста­вить в ви­де Т. р. функ­цию, гра­фи­ком ко­то­рой яв­ля­ет­ся дос­та­точ­но про­из­воль­ная кри­вая.

Но зна­че­ние этих спо­ров боль­ше. Фак­ти­че­ски в них об­су­ж­да­лись или воз­ник­ли в свя­зи с ни­ми во­про­сы, свя­зан­ные со мно­ги­ми прин­ци­пи­аль­но важ­ны­ми по­ня­тия­ми и идея­ми ма­те­ма­тич. ана­ли­за во­об­ще, – пред­став­ле­ние функ­ций ря­да­ми Тей­ло­ра и ана­ли­тич. про­дол­же­ние функ­ций, ис­поль­зо­ва­ние рас­хо­дя­щих­ся ря­дов, пе­ре­ста­нов­ка пре­де­лов, бес­ко­неч­ные сис­те­мы урав­не­ний, ин­тер­по­ли­ро­ва­ние функ­ций мно­го­чле­на­ми и др.

И в даль­ней­шем, как и в этот на­чаль­ный пе­ри­од, тео­рия Т. р. слу­жи­ла ис­точ­ни­ком но­вых идей ма­те­ма­тич. ана­ли­за и влия­ла на раз­ви­тие дру­гих его раз­де­лов. Су­ще­ст­вен­ную роль иг­ра­ли ис­сле­до­ва­ния по Т. р. в по­строе­нии ин­те­гра­лов Ри­ма­на и Ле­бе­га. Тео­рия функ­ций дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го воз­ник­ла и за­тем раз­ви­ва­лась в тес­ной свя­зи с тео­ри­ей Т. р. Как обоб­ще­ния Т. р. поя­ви­лись ин­те­грал Фу­рье, поч­ти пе­рио­ди­че­ские функ­ции, об­щие ор­то­го­наль­ные ря­ды, аб­ст­ракт­ный гар­мо­ни­че­ский ана­лиз. Ис­сле­до­ва­ния по Т. р. бы­ли ис­ход­ным пунк­том при соз­да­нии тео­рии мно­жеств. Т. р. яв­ля­ют­ся мощ­ным сред­ст­вом пред­став­ле­ния и ис­сле­до­ва­ния функ­ций.

Во­прос, при­вед­ший к спо­рам ма­те­ма­ти­ков 18 в., был ре­шён в 1807 Ж. Фу­рье, ука­зав­шим фор­му­лы для вы­чис­ле­ния ко­эф­фи­ци­ен­тов Т. р. (1), ко­то­рый дол­жен пред­став­лять на ($0,2π$) функ­цию $f(x)$: $$a_k=\frac{1}{π}\int_0^{2π} f(x)\cos kxdx,\\b_k=\frac{1}{π}\int_0^{2π} f(x)\sin kxdx\tag{2}$$ и при­ме­нив­шим их для ре­ше­ния за­да­чи те­п­ло­про­вод­но­сти. Фор­му­лы (2) по­лу­чи­ли назв. фор­мул Фу­рье, хо­тя они встре­ча­лись ра­нее у А. Кле­ро (1754), а Л. Эй­лер по­лу­чал их (1777) с по­мо­щью почлен­но­го ин­тег­ри­ро­ва­ния. Т. р. (1), ко­эф­фи­ци­ен­ты ко­то­ро­го оп­ре­де­ля­ют­ся по фор­му­лам (2), на­зы­ва­ет­ся Фу­рье ря­дом функ­ции $f$, а ко­эф­фи­ци­ен­ты $a_k$, $b_k$ – её ко­эф­фи­ци­ен­та­ми Фу­рье.

Ха­рак­тер ре­зуль­та­тов, по­лу­чае­мых для Т. р., за­ви­сит от то­го, как по­ни­ма­ет­ся пред­став­ле­ние функ­ции ря­дом, и от то­го, как по­ни­ма­ет­ся ин­те­грал в фор­му­лах (2). Совр. вид тео­рия Т. р. при­об­ре­ла по­сле по­яв­ле­ния ин­те­гра­ла Ле­бе­га.

В тео­рии Т. р. мож­но ус­лов­но вы­де­лить два раз­де­ла – тео­рию ря­дов Фу­рье, ко­гда пред­по­ла­га­ет­ся, что ряд (1) яв­ля­ет­ся ря­дом Фу­рье не­ко­то­рой функ­ции, и тео­рию об­щих Т. р., где та­кое пред­по­ло­же­ние не де­ла­ет­ся. Пер­вое сис­те­ма­тич. ис­сле­до­ва­ние об­щих Т. р. при­над­ле­жит Б. Ри­ма­ну (1853). По­это­му тео­рию об­щих Т. р. ино­гда на­зы­ва­ют ри­ма­нов­ской тео­ри­ей три­го­но­мет­рич. ря­да.

Ес­ли Т. р. схо­дит­ся на мно­же­ст­ве по­ло­жи­тель­ной ме­ры, то его ко­эф­фи­ци­ен­ты стре­мят­ся к ну­лю. Для Т. р. со стре­мя­щи­ми­ся к ну­лю ко­эф­фи­ци­ен­та­ми спра­вед­лив прин­цип ло­ка­ли­за­ции Ри­ма­на, со­глас­но ко­то­ро­му по­ве­де­ние ря­да (1) в точ­ке $x$ за­ви­сит толь­ко от по­ве­де­ния в про­из­воль­но ма­лой ок­ре­ст­но­сти этой точ­ки функ­ции, к ко­то­рой схо­дит­ся ряд, по­лу­чен­ный дву­крат­ным по­член­ным ин­тег­ри­ро­ва­ни­ем ря­да (1).

Од­ной из центр. про­блем тео­рии об­щих Т. р. яв­ля­ет­ся за­да­ча о пред­став­ле­нии про­из­воль­ной функ­ции Т. р. Уси­лив ре­зуль­та­ты Н. Н. Лу­зи­на (1915) о пред­став­ле­нии функ­ций Т. р., сум­ми­руе­мы­ми поч­ти всю­ду ме­то­да­ми Абе­ля – Пу­ас­со­на и Ри­ма­на (см. Сум­ми­ро­ва­ние ря­дов), Д. Е. Мень­шов до­ка­зал (1940), что для ка­ж­дой из­ме­ри­мой и ко­неч­ной поч­ти всю­ду функ­ции $f$ су­ще­ст­ву­ет Т. р., схо­дя­щий­ся к ней поч­ти всю­ду. Сле­ду­ет от­ме­тить, что ес­ли да­же функ­ция $f$ ин­тег­ри­руе­ма, то в ка­че­ст­ве та­ко­го ря­да нель­зя, во­об­ще го­во­ря, взять её ряд Фу­рье, т. к. су­ще­ст­ву­ют ря­ды Фу­рье, рас­хо­дя­щие­ся всю­ду.

Мно­го ис­сле­до­ва­ний по­свя­ще­но про­бле­ме един­ст­вен­но­сти Т. р. Мно­же­ст­во $E⊂[0,2π)$ на­зы­ва­ет­ся мно­же­ст­вом един­ст­вен­но­сти, ес­ли из схо­ди­мо­сти Т. р. к ну­лю вне $E$ сле­ду­ет, что все ко­эф­фи­ци­ен­ты ря­да рав­ны ну­лю. Ка­ж­дое не бо­лее чем счёт­ное мно­же­ст­во яв­ля­ет­ся мно­же­ст­вом един­ст­вен­но­сти (Г. Кан­тор, 1872). Мно­же­ст­ва по­ло­жи­тель­ной ме­ры не яв­ля­ют­ся мно­же­ст­ва­ми един­ст­вен­но­сти. Су­ще­ст­во­ва­ние мно­жеств не­един­ст­вен­но­сти ме­ры нуль бы­ло ус­та­нов­ле­но Д. Е. Мень­шо­вым (1916). От­сю­да, в ча­ст­но­сти, сле­ду­ет, что при пред­став­ле­нии функ­ций Т. р., схо­дя­щи­ми­ся поч­ти всю­ду, эти ря­ды оп­ре­де­ля­ют­ся не­од­но­знач­но.