ФУНКЦИОНА́ЛЬНЫЙ АНА́ЛИЗ

ФУНКЦИОНА́ЛЬНЫЙ АНА́ЛИЗ, раз­дел ма­те­ма­ти­ки, глав­ной за­да­чей ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся изу­че­ние бес­ко­неч­но­мер­ных про­странств и опе­ра­ций над их эле­мен­та­ми. Воз­ник в ре­зуль­та­те вза­им­но­го влия­ния, объ­е­ди­не­ния и обоб­ще­ния идей и ме­то­дов разл. раз­де­лов клас­сич. ма­те­ма­тич. ана­ли­за, в пер­вую оче­редь ва­риа­ци­он­но­го ис­чис­ле­ния, мно­жеств тео­рии, ли­ней­ной ал­геб­ры и мно­го­мер­ной гео­мет­рии. Ф. а. на­хо­дит мно­го­числ. при­ме­не­ния как в са­мой ма­те­ма­ти­ке, так и в разл. об­лас­тях совр. фи­зи­ки (напр., в кван­то­вой ме­ха­ни­ке, кван­то­вой тео­рии по­ля). В Ф. а. на­шли даль­ней­шее раз­ви­тие и обоб­ще­ние осн. по­ня­тия клас­сич. ана­ли­за, та­кие как по­ня­тия функ­цио­наль­ной за­ви­си­мо­сти (см. Функ­ция) и не­пре­рыв­но­сти (см. Не­пре­рыв­ная функ­ция). Ме­то­ды Ф. а. по­зво­ля­ют ус­та­нав­ли­вать глу­бо­кие свя­зи ме­ж­ду разл. раз­де­ла­ми ма­те­ма­ти­ки.

Ф. а. как са­мо­сто­ят. раз­дел ма­те­ма­ти­ки сло­жил­ся на ру­бе­же 19 и 20 вв. В про­цес­се раз­ви­тия ма­те­ма­ти­ки в 18–19 вв. об­на­ру­жи­лась общ­ность ря­да по­ня­тий и ме­то­дов, ко­то­ры­ми поль­зо­ва­лись в са­мых разл. об­лас­тях ал­геб­ры и ма­те­ма­тич. ана­ли­за. Так, бы­ла об­на­ру­же­на глу­бо­кая ана­ло­гия ме­ж­ду тео­ри­ей экс­тре­му­мов функ­ций и ва­риа­ци­он­ным ис­чис­ле­ни­ем, а так­же ме­ж­ду свой­ст­ва­ми сис­тем ли­ней­ных ал­геб­ра­ич. урав­не­ний и ли­ней­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний. Ока­за­лось, что свой­ст­ва по­сле­до­ва­тель­но­стей функ­ций, схо­дя­щих­ся в том или ином смыс­ле (рав­но­мер­но, в сред­нем и т. д.), во мно­гом ана­ло­гич­ны свой­ст­вам схо­дя­щих­ся по­сле­до­ва­тель­но­стей чи­сел или то­чек про­стран­ст­ва. Эти ана­ло­гии не слу­чай­ны, они от­ра­жа­ют общ­ность ре­аль­но­го фи­зич. со­дер­жа­ния тех за­дач, ко­то­рые при­ве­ли к соз­да­нию ука­зан­ных вы­ше ма­те­ма­тич. тео­рий и по­ня­тий. В ре­зуль­та­те вы­яс­не­ния этих ана­ло­гий воз­ник­ли но­вые, весь­ма об­щие ма­те­ма­тич. по­ня­тия, из ко­то­рых наи­бо­лее важ­ным яв­ля­ет­ся по­ня­тие про­стран­ст­ва. Сре­ди про­странств, ис­поль­зуе­мых в Ф. а., – ба­на­хо­вы про­стран­ст­ва, век­тор­ные про­стран­ст­ва, гиль­бер­то­вы про­стран­ст­ва, то­по­ло­ги­че­ские про­стран­ст­ва.

Уже для гео­мет­ри­за­ции тео­рии функ­ций мн. пе­ре­мен­ных по­на­до­би­лось вве­сти по­ня­тие мно­го­мер­но­го про­стран­ст­ва. Соз­да­ние мно­го­мер­ной гео­мет­рии по­зво­ли­ло дать гео­мет­рич. ин­тер­пре­та­цию ря­ду фак­тов ариф­ме­ти­ки, ал­геб­ры и ма­те­ма­тич. ана­ли­за. Обоб­ще­ние по­ня­тия про­стран­ст­ва сти­му­ли­ро­ва­лось не толь­ко по­треб­но­стя­ми ана­ли­за и ал­геб­ры, но и раз­ви­ти­ем са­мой гео­мет­рии. Ис­сле­до­ва­ния, на­чав­шие­ся в свя­зи с по­строе­ни­ем Н. И. Ло­ба­чев­ским не­евк­ли­до­вой гео­мет­рии, по­ка­за­ли воз­мож­ность по­строе­ния гео­мет­рич. тео­рий для «про­странств», со­стоя­щих из про­из­воль­ных эле­мен­тов, удов­ле­тво­ряю­щих той или иной сис­те­ме ак­си­ом. Ба­зой для даль­ней­ше­го раз­ви­тия этих обоб­щён­ных гео­мет­рий яви­лась тео­рия мно­жеств, рас­смат­ри­ваю­щая как еди­ное це­лое про­из­воль­ную со­во­куп­ность лю­бых эле­мен­тов.

Сре­ди про­странств осо­бен­но важ­ны­ми для ана­ли­за ока­за­лись т. н. функ­цио­наль­ные про­стран­ст­ва, т. е. про­стран­ст­ва, точ­ка­ми ко­то­рых яв­ля­ют­ся функ­ции или чи­сло­вые по­сле­до­ва­тель­но­сти. Боль­шин­ст­во функ­цио­наль­ных про­странств, встре­чаю­щих­ся в ма­те­ма­тич. ана­ли­зе (напр., про­стран­ст­во C[a, b] не­пре­рыв­ных на от­рез­ке [a, b] функ­ций), рав­но как и боль­шин­ст­во про­странств чи­сло­вых по­сле­до­ва­тель­но­стей, яв­ля­ют­ся век­тор­ны­ми про­стран­ст­ва­ми. В них оп­ре­де­ле­ны опе­ра­ции сло­же­ния эле­мен­тов и ум­но­же­ния эле­мен­та на чис­ло (дей­ст­ви­тель­ное или ком­плекс­ное), об­ла­даю­щие обыч­ны­ми свой­ст­ва­ми опе­ра­ций над век­то­ра­ми. Наи­бо­лее ес­те­ст­вен­ным бес­ко­неч­но­мер­ным ана­ло­гом евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва яв­ля­ет­ся гиль­бер­то­во про­стран­ст­во l₂, для эле­мен­тов ко­то­ро­го, по­ми­мо ука­зан­ных вы­ше опе­ра­ций, оп­ре­де­ле­на опе­ра­ция об­ра­зо­ва­ния ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния с обыч­ны­ми свой­ст­ва­ми, что по­зво­ля­ет вво­дить по­ня­тие ор­то­го­наль­но­сти. Изу­че­ние кон­крет­ных при­ме­ров век­тор­ных про­странств при­ве­ло к вы­де­ле­нию клас­са т. н. ба­на­хо­вых про­странств. Для ка­ж­до­го эле­мен­та x та­ко­го про­стран­ст­ва оп­ре­де­ле­на нор­ма ||x|| – дей­ст­ви­тель­ное чис­ло, об­ла­даю­щее свой­ст­ва­ми дли­ны век­то­ра. На­ли­чие нор­мы по­зво­ля­ет оп­ре­де­лить по­ня­тие рас­стоя­ния ме­ж­ду эле­мен­та­ми x, y как чис­ла ||x-y||, по­ня­тия ша­ра, ок­ре­ст­но­сти эле­мен­та, пре­дель­ной точ­ки мно­же­ст­ва, схо­ди­мо­сти по­сле­до­ва­тель­но­сти эле­мен­тов и ряд дру­гих, обоб­щаю­щих со­от­вет­ст­вую­щие по­ня­тия клас­сич. ана­ли­за. По­ня­тия схо­ди­мо­сти, пре­дель­ной точ­ки и т. д. мо­гут иметь разл. кон­крет­ный смысл в за­ви­си­мо­сти от при­ро­ды эле­мен­тов про­стран­ст­ва и от оп­ре­де­ле­ния нор­мы. Бла­го­да­ря это­му од­на и та же тео­ре­ма о ба­на­хо­вых про­стран­ст­вах мо­жет иметь ряд кон­крет­ных ис­тол­ко­ва­ний в разл. кон­крет­ных слу­ча­ях, что при­да­ёт этим тео­ре­мам боль­шую общ­ность.

Од­но­вре­мен­но с раз­ви­ти­ем и обоб­ще­ни­ем по­ня­тия про­стран­ст­ва шло раз­ви­тие и обоб­ще­ние по­ня­тия функ­ции. Так, в ва­риа­ци­он­ном ис­чис­ле­нии рас­смат­ри­ва­ют­ся пе­ре­мен­ные ве­ли­чи­ны, за­ви­ся­щие не от чи­сло­во­го ар­гу­мен­та, а от не­ко­то­рой ли­нии (функ­ции), напр. дли­на ду­ги кри­вой, со­еди­няю­щей дан­ные точ­ки, пло­щадь, ог­ра­ни­чен­ная замк­ну­той кри­вой, и т. д. По­доб­ные ве­ли­чи­ны по­лу­чи­ли на­зва­ние функ­цио­на­лов. Мож­но ска­зать, что функ­цио­нал – это чи­сло­вая функ­ция, оп­ре­де­лён­ная на не­ко­то­ром функ­цио­наль­ном про­стран­ст­ве. В даль­ней­шем под функ­цио­на­лом ста­ли по­ни­мать чи­сло­вую функ­цию, оп­ре­де­лён­ную на про­из­воль­ном (ча­ще все­го век­тор­ном) про­стран­ст­ве. На функ­цио­на­лы бы­ли пе­ре­не­се­ны та­кие осн. по­ня­тия и опе­ра­ции клас­сич. ана­ли­за, как не­пре­рыв­ность и пре­дель­ный пе­ре­ход. В ре­зуль­та­те это­го ва­риа­ци­он­ное ис­чис­ле­ние, по­слу­жив­шее в своё вре­мя од­ним из важ­ных ис­точ­ни­ков и сти­му­лов воз­ник­но­ве­ния Ф. а., пре­вра­ти­лось в зна­чит. ме­ре в од­ну из глав по­след­не­го (тео­рия экс­тре­му­мов функ­цио­на­лов). По­ня­тие функ­цио­на­ла иг­ра­ет пер­во­сте­пен­ную роль в Ф. а., от­сю­да и воз­ник сам тер­мин «Ф. а.» (т. е. ис­чис­ле­ние функ­цио­на­лов). Од­на­ко со­дер­жа­ние Ф. а. уже дав­но вы­шло за рам­ки изу­че­ния од­них толь­ко функ­цио­на­лов.

По­ня­тие функ­цио­наль­но­го про­стран­ст­ва по­зво­ли­ло свя­зать диф­фе­рен­ци­аль­ные, ин­те­граль­ные, раз­но­ст­ные и др. урав­не­ния с рас­смот­ре­ни­ем пре­об­ра­зо­ва­ний про­странств. Вы­яс­не­ние об­щих свойств урав­не­ний разл. ви­да при­ве­ло к соз­да­нию об­щей тео­рии опе­ра­то­ров. Ны­не при изу­че­нии опе­ра­то­ров на­хо­дят ши­ро­кое при­ме­не­ние ме­то­ды тео­рии функ­ций ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го, аб­ст­ракт­ной ал­геб­ры и др. ма­те­ма­тич. дис­ци­п­лин. Изу­ча­ют­ся про­стран­ст­ва, эле­мен­та­ми ко­то­рых яв­ля­ют­ся опе­ра­то­ры, оп­ре­де­ля­ют­ся по­ня­тия схо­ди­мо­сти по­сле­до­ва­тель­но­сти опе­ра­то­ров, ал­геб­ра­ич. дей­ст­вия над ни­ми и т. д.

Ре­шаю­щее влия­ние на раз­ви­тие Ф. а. ока­за­ли та­кие фи­зич. тео­рии, как кван­то­вая ме­ха­ни­ка, кван­то­вая тео­рия по­ля и др. Фак­ти­че­ски мно­гие по­ня­тия Ф. а. ши­ро­ко ис­поль­зо­ва­лись фи­зи­ка­ми за­дол­го до то­го, как этим по­ня­ти­ям бы­ло да­но стро­гое ма­те­ма­тич. обос­но­ва­ние. В свою оче­редь, идеи Ф. а. влия­ют на раз­ви­тие фи­зич. тео­рий.