АЛГЕБРАИ́ЧЕСКАЯ КРИВА́Я
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
АЛГЕБРАИ́ЧЕСКАЯ КРИВА́Я, кривая, задаваемая в декартовых координатах алгебраич. уравнением, в общем случае – алгебраическое многообразие размерности 1. Простейшими примерами А. к. являются аффинные и проективные прямые и кривые 2-го порядка. Плоская А. к. задаётся одним алгебраич. уравнением $$F(x, y)=0$$ на аффинной плоскости ${\bf A}^2_k$ или одним однородным алгебраич. уравнением $$Φ(x_0, x_1, x_2)=0$$ на проективной плоскости ${\bf P}^2_k$ над некоторым полем $k$. Степень многочленов $F(x, y)$ и $Φ(x_0, x_1, x_2)$ называется степенью (или порядком) соответствующей А. к. Существуют аффинные и проективные кривые в пространствах любой размерности, не изоморфные плоским кривым.
В алгебраической геометрии изучаются в осн. неособые проективные А. к. над алгебраически замкнутым основным полем. Основной задачей для А. к. является их бирациональная классификация. В каждом бирациональном классе существует единственная с точностью до изоморфизма полная неособая кривая. Она может быть изоморфно вложена (разл. способами) в проективные пространства. Единственным дискретным бирациональным инвариантом А. к. $X$ является её род $g=g(X)$. Он равен размерности пространства регулярных дифференциальных форм на $X$ и принимает любые неотрицательные целые значения. Значение $g=0$ характеризует рациональные кривые, это кривые, накрываемые проективной прямой ${\bf P}^1_k$. Кривые рода $g=1$ называются эллиптическими кривыми. С точностью до изоморфизма они параметризуются аффинной прямой ${\bf A}^1_k$. Классы изоморфизмов всех кривых фиксированного рода $g⩾2$ образуют неприводимое алгебраич. многообразие $M_{3g-3}$ размерности $3g-3$, называемое многообразием модулей.
Для всякой кривой рода $g⩾2$ определено канонич. отображение её в проективное пространство ${\bf P}^{g-1}_k$ размерности $g-1$. В случае, когда оно является изоморфным вложением (и тогда его образ – кривая степени $2g-2$), А. к. называется канонической, в противном случае она называется гиперэллиптической. Гиперэллиптич. кривая рода $g⩾2$ может быть задана аффинным уравнением вида $y^2=P(x)$, где $P(x)$ – многочлен степени $2g+2$ без кратных корней.
Теория А. к. возникла в кон. 18 в. как теория эллиптич. кривых, точнее, эллиптич. интегралов над полем комплексных чисел $\bf C$. Н. Абель в 1826 рассмотрел более общие интегралы, названные впоследствии абелевыми интегралами, и заложил основы общей теории А. к. над полем $\bf C$.
Н. Абель и К. Якоби построили также отображение А. к. в комплексный тор, вложение которого в проективное пространство при помощи тэта-функций задаёт на нём структуру проективного алгебраич. многообразия, называемого якобиевым многообразием или якобианом кривой $X$. Теория якобианов алгебраич. кривых над произвольными полями была развита в 1940-х гг. в работах А. Вейля.
Изучая алгебраич. функции комплексного переменного, Б. Риман в 1851 ввёл понятие, называемое теперь римановой поверхностью (одномерным комплексным многообразием), и положил начало изучению топологии комплексных А. к. Был выяснен топологич. смысл рода как числа ручек соответствующей компактной римановой поверхности. Риманова поверхность для ${\bf P}^3_{\bf C}$ – это сфера Римана, для эллиптич. кривой – одномерный комплексный.
О связи А. к. и автоморфных функций см. в ст. Автоморфная функция. В совр. теории изучаются также арифметич. свойства А. к. над конечными и числовыми полями.