АЛГЕБРАИ́ЧЕСКОЕ МНОГООБРА́ЗИЕ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
АЛГЕБРАИ́ЧЕСКОЕ МНОГООБРА́ЗИЕ, основной объект изучения в алгебраич. геометрии, который вначале определялся как множество точек в $n$-мерном пространстве, координаты которых $x_1,\ldots, x_n$ являются решениями системы уравнений$$F_1(x_1,\ldots, x_n)=0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ ...............\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ F_m(x_1, ..., x_n)=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$$F_1,\ldots, F_m$ – многочлены от $x_1,\ldots, x_n$. Каждое А. м. имеет определённую размерность, которая является числом независимых параметров, определяющих точку на многообразии. Примерами алгебраич. кривых являются конические сечения.
В дальнейшем стали различаться аффинные, проективные и заданные абстрактно А. м. Для каждого А. м. фиксируется его поле определения $k$, называемое также полем констант или основным полем. Аффинное А. м. задаётся системой алгебраич. уравнений вида (1) в аффинном пространстве $\textbf {A}^n_k$ над полем $k$ с координатами $x_1,\ldots, x_n$. Аналогично, проективное А. м. задаётся системой однородных алгебраич. уравнений в проективном пространстве $\textbf{P}^n_k$ с однородными координатами $y_0, y_1,\ldots, y_n$. Абстрактно заданные А. м. склеиваются из аффинных подобно тому, как обычные дифференциальные многообразия склеиваются из евклидовых шаров. Не всякое абстрактно заданное А. м. может быть вложено в проективное пространство.
На каждом А. м. $X$ вводится топология Зариского, замкнутыми подмножествами в которой являются все подмногообразия (включая само $X$ и пустое множество). Эта топология сильно не отделима; напр., на аффинной прямой $\textbf {A}^1_k$ над бесконечным полем $k$ любые два открытые непустые подмножества пересекаются.
Топология Зариского позволяет определить на $X$ пучок локальных колец $\mathscr {O}_X$, называемый структурным (см. Пучков теория). Слой $\mathscr {O}_x$ пучка $\mathscr {O}_X$ в точке $x=(x_1,\ldots, x_n) \in X$ состоит из ростков регулярных функций в $x$. Каждый росток (неоднозначно) представлен в некоторой окрестности $x$ рациональной функцией вида $$\frac{P(x_1,\ldots,x_n)}{Q(x_1\ldots,x_n)},$$ где $P$ и $Q$ – многочлены и $Q(x)≠0$. Кольцо глобальных сечений $A(X)$ пучка $\mathscr {O}_X$ называется координатным кольцом на $X$ – это кольцо функций, регулярных на всём многообразии $X$.
Для А. м. рассматриваются отображения двух типов: регулярные (называемые обычно морфизмами) и рациональные. Регулярные отображения локально задаются в координатах многочленами, а рациональные – рациональными функциями, т. е. отношениями многочленов. Последние могут быть не всюду определёнными. Если рациональное отображение имеет обратное, оно называется бирациональным.
Размерность (неприводимого) А. м. $X$ определяется топологически как максимальная длина цепочки различных вложенных непустых замкнутых подмножеств в $X$ или алгебраически как максимальное число алгебраически независимых рациональных функций на $X$. Оба определения дают одно и то же число. А. м. размерности 1 – алгебраические кривые, размерности 2 – алгебраические поверхности. Гиперповерхность в $n$-мерном аффинном или проективном пространстве задаётся одним уравнением и имеет размерность $n-1$.
Главное отличие проективного А. м. от аффинного А. м. заключается в его полноте, являющейся алгебраич. аналогом топологич. понятия компактности. Всякое проективное многообразие над полем комплексных чисел $\textbf C$ компактно, а аффинное многообразие размерности, большей 0, не компактно. Существуют полные А. м., не изоморфные проективным. На полных А. м. всюду регулярными функциями являются только константы.
Наиболее важным для А. м. является понятие неособости (гладкости). Оно локально и определяется для каждой точки. Точка $x\in X$ в определении системой (1) называется неособой (гладкой), если ранг матрицы $(\partial F_i/\partial x_j)$ максимален в этой точке. Это условие соответствует условию существования неявной функции в анализе. А. м. называется неособым (гладким), если все его точки неособые, в противном случае – особым.
Обобщениями А. м. являются схемы и алгебраич. пространства.