А́БЕЛЕВ ИНТЕГРА́Л
-
Рубрика: Математика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
А́БЕЛЕВ ИНТЕГРА́Л, интеграл вида $$\int\limits_{z_0}^{z_1} R(z,w)\, dz,$$где интегрирование производится вдоль некоторого спрямляемого пути $L$, соединяющего точки $z_0$ и $z_1$в $z$-плоскости, а $R(z,w)$ – рациональная функция переменных и $w$, связанных полиномиальным уравнением $F(z,w)=0$. Это уравнение определяет некоторую риманову поверхность $F$, и А. и. может быть рассмотрен как интеграл от некоторого пути $L'$ на $F$, накрывающего путь $L$. Название «А. и.» дано в честь Н. Абеля, заложившего основы теории А. и.
В частном случае, когда $F(z,w)=w^2-H(z)$, где $H(z)$ – многочлен степени 3 или 4, А. и. называют эллиптич. интегралом, а если степень $H(z)$ больше или равна 5, то гиперэллиптическим. А. и. впервые появились как эллиптич. интегралы в работах Я. и И. Бернулли при вычислении длин дуг кривых второго порядка. Проблема обращения эллиптич. интегралов (когда А. и. рассматривается как функция верхнего предела) была поставлена и решена в работах Абеля и К. Якоби в 1827. Ими также исследовалась проблема обращения гиперэллиптич. интегралов. Существенный вклад в теорию А. и. внёс Б. Риман, который в 1851 ввёл важное понятие т. н. римановой поверхности.