АВТОМО́РФНАЯ ФУ́НКЦИЯ

АВТОМО́РФНАЯ ФУ́НКЦИЯ, ме­ро­морф­ная функ­ция, зна­че­ния ко­то­рой не из­ме­ня­ют­ся, ес­ли её ар­гу­мент под­вер­га­ется не­ко­то­рым ком­плекс­но-ана­ли­тич. пре­об­ра­зо­ва­ни­ям. К А. ф. от­но­сят­ся пе­рио­дич. функ­ции и, в ча­ст­но­сти, эл­лип­тич. функ­ции. Так, напр., ес­ли ука­зан­ные пре­об­ра­зо­ва­ния име­ют вид $z′=z+ω$, где $ω$ – ком­плекс­ное чис­ло, от­лич­ное от ну­ля, то по­лу­ча­ют­ся А. ф., удов­ле­тво­ряю­щие ра­вен­ст­ву $f(z+ω)=f(z)$, т. е. пе­рио­дич. функ­ции с пе­рио­дом ω. В этом при­ме­ре пре­об­ра­зо­ва­ни­ем, не из­ме­няю­щим функ­ции, яв­ля­ет­ся сдвиг ком­плекс­ной плос­ко­сти на век­тор $ω$. Тот же сдвиг, по­вто­рен­ный сколь­ко угод­но раз, так­же не из­ме­ня­ет функ­ции. В ре­зуль­та­те по­лу­ча­ет­ся груп­па ли­ней­ных пре­об­ра­зо­ва­ний $z′=z+nω, n=0, ±1, ±2,…,$ не из­ме­няю­щих $f(z)$.

А. ф. (и, бо­лее об­що, ав­то­морф­ные фор­мы) изу­ча­ют­ся в тео­рии А. ф., пред­став­ляю­щей са­мо­сто­ят. раз­дел ма­те­ма­ти­ки. Обыч­но в тео­рии А. ф. рас­смат­ри­ва­ют­ся об­лас­ти $D$ в ком­плекс­ном про­стран­ст­ве $\mathbf C^n$ и дис­крет­ные груп­пы $\Gamma$ ана­ли­тич. пре­об­ра­зо­ва­ний $D$ в се­бя. Ав­то­морф­ной фор­мой $f$ ве­са $m$ на $D$ на­зы­ва­ет­ся ана­ли­ти­че­ская (или толь­ко ме­ро­морф­ная) функ­ция, ко­то­рая пре­об­ра­зу­ет­ся под дей­ст­ви­ем груп­пы $\Gamma$ со­глас­но со­от­но­ше­нию$$f(γ(z))=J^{–m}(γ)(z)f(z), γ \in Γ, z \in D,$$где $J(γ)$ – яко­би­ан ото­бра­же­ния $γ(z)$, а $m$ – це­лое не­от­ри­ца­тель­ное чис­ло. Ес­ли $m=0$, то $f$ яв­ля­ет­ся А. ф.

Фак­тор­про­стран­ст­во $X=D/Γ$, ко­то­рое по­лу­ча­ет­ся за­ме­ной эле­мен­тов мно­же­ст­ва $D$ на клас­сы эк­ви­ва­лент­но­сти, по­ро­ж­дён­ные груп­пой $Γ$, об­ла­да­ет ком­плекс­но-ана­ли­тич. струк­ту­рой (т. е. из­вест­но, ка­кие функ­ции на нём яв­ля­ют­ся ана­ли­ти­че­ски­ми, ими бу­дут А. ф.). Ес­ли да­но ком­плекс­но-ана­ли­тич. мно­го­обра­зие $X$, то на­хо­ж­де­ние об­лас­ти $D$ и дис­крет­ной груп­пы $Γ$ та­ких, что $X=D/Γ$ на­зы­ва­ет­ся за­да­чей уни­фор­ми­за­ции мно­го­об­ра­зия $X$. Ес­ли же да­ны об­ласть $D$ и груп­па $Γ$, то вста­ёт во­прос об опи­са­нии про­стран­ст­ва $X$ и пре­ж­де все­го по­ля $K$ А. ф. (или коль­ца ав­то­морф­ных форм).

При­ме­ры. 1. Пусть об­ласть $D$ сов­па­да­ет со всем про­стран­ст­вом $\mathbf C^n$, а $Γ=\mathbf Z^{2n}$ – груп­па па­рал­лель­ных пе­ре­но­сов на век­то­ры, при­над­ле­жа­щие дис­крет­ной груп­пе в $\mathbf C^n$ мак­си­маль­но воз­мож­но­го ран­га $2n$. То­гда про­стран­ст­во $D/Γ$ ком­пакт­но, го­мео­морф­но то­ру и по­ле А. ф. $K$ на $X$ име­ет сте­пень транс­цен­дент­но­сти, не пре­вос­хо­дя­щую $n$. Ес­ли вы­пол­не­ны до­пол­ни­тель­ные ус­ло­вия на груп­пу $Γ$ (ус­ло­вия Римана – Фро­бе­ниу­са), то по­ле $K$ со­дер­жит $n$ ал­геб­раи­че­ски не­за­ви­си­мых функ­ций и $X$ яв­ля­ет­ся про­ек­тив­ным ал­геб­ра­ич. мно­го­об­ра­зи­ем, или абе­ле­вым мно­го­об­ра­зи­ем (см. Ал­геб­раи­че­ская гео­мет­рия). Для $n=1$ эти ус­ло­вия вы­пол­ня­ют­ся все­гда, А. ф. суть эл­лип­тич. функ­ции и $X$ яв­ля­ет­ся эл­лип­тич. кри­вой.

2. Пусть $D$ яв­ля­ет­ся верх­ней по­лу­плос­ко­стью в $\mathbf C$. Груп­па $G$ мат­риц вто­ро­го по­ряд­ка с дей­ст­ви­тель­ны­ми эле­мен­та­ми и оп­ре­де­ли­те­лем, рав­ным 1, дей­ст­ву­ет на $D$ дроб­но-ли­ней­ны­ми пре­об­ра­зо­ва­ния­ми$$z \rightarrow {(az+b)\over(cz+d)}, \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in G.$$   

Пусть Γ – дис­крет­ная под­груп­па в $G$. Ме­ро­морф­ная функ­ция $f$ на $D$ бу­дет ав­то­морф­ной фор­мой ве­са $m$ ($m$ – це­лое не­от­ри­ца­тель­ное чис­ло), ес­ли$$f((az+b)/(cz+d))=(cz+d)^{2m}f(z).$$

Пусть фак­тор­про­стран­ст­во $X=D/Γ$ ком­пакт­но. То­гда $X$ яв­ля­ет­ся про­ек­тив­ной не­осо­бой ал­геб­ра­ич. кри­вой. С дру­гой сто­ро­ны, ка­ж­дая та­кая кри­вая $X$ пред­ста­ви­ма как фак­тор­про­стран­ст­во $X=D/Γ$ (за­да­ча уни­фор­ми­за­ции). Раз­мер­ность про­стран­ст­ва го­ло­морф­ных ав­то­морф­ных форм дан­но­го ве­са мож­но вы­чис­лить, ис­поль­зуя тео­ре­му Римана – Ро­ха на фак­тор­про­ст­ран­ст­ве $X$. Так, ес­ли груп­па $Γ$ не име­ет не­по­движных то­чек, то раз­мер­ность рав­на $(2m-1)(g-1)$, ес­ли $m>1$, рав­на $g$, ес­ли $m=1$, и рав­на $1$, ес­ли $m=0$ (здесь $g$ – род кри­вой $X$).

3. Пусть $D$ – сно­ва верх­няя по­лу­плос­кость, но $Γ$ – груп­па мат­риц вто­ро­го по­ряд­ка с це­лы­ми эле­мен­та­ми. Ав­то­морф­ные фор­мы для груп­пы $Γ$ оп­ре­де­ля­ют­ся так же, как и в пре­ды­ду­щем при­ме­ре, и на­зы­ва­ют­ся в этой си­туа­ции мо­ду­ляр­ны­ми фор­ма­ми, а са­ма группа – мо­ду­ляр­ной груп­пой. Фак­тор­про­стран­ст­во бу­дет те­перь не­ком­пакт­ным, но его мож­но до­пол­нить ко­неч­ным мно­же­ст­вом то­чек так, что по­лу­чит­ся про­ек­тив­ная ал­геб­ра­ич. кри­вая (та­кие кривые на­зы­ва­ют­ся мо­ду­ляр­ны­ми).

Тео­рия А. ф. од­но­го ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го бы­ла соз­да­на в кон. 19 – нач. 20 вв. в ра­бо­тах Ф. Клей­на, А. Пу­ан­ка­ре, Р. Ке­бе и др., в ко­то­рых бы­ла ре­шена за­да­ча уни­фор­ми­за­ции для од­номер­ных ком­плекс­ных мно­го­об­ра­зий (ри­ма­но­вых по­верх­но­стей). Был так­же опи­сан класс дис­крет­ных групп, дей­ствую­щих в еди­нич­ном кру­ге на ком­плекс­ной плос­ко­сти (или на всей ком­плекс­ной плос­ко­сти), для ко­то­рых по­ле $K$ яв­ля­ет­ся по­лем ал­геб­ра­ич. функ­ций от од­ной пе­ре­мен­ной. Не­три­ви­аль­ные А. ф. стро­ят­ся как от­но­ше­ния ав­то­морф­ных форм од­но­го и то­го же ве­са. Для по­строе­ния по­след­них Пу­ан­ка­ре пред­ло­жил кон­ст­рук­цию, по­лу­чив­шую на­зва­ние ря­дов Пу­ан­ка­ре.

Пусть $h(z), z\in D$, – про­из­воль­ная го­ло­морф­ная на $D$ функ­ция. Ря­дом Пу­ан­ка­ре на­зы­ва­ет­ся ряд$$f(z)=\sum_{\gamma\in\Gamma}J^m(γ)(z)\ h(γz).$$

Ес­ли он схо­дит­ся, то его сум­ма яв­ляет­ся ав­то­морф­ной фор­мой. Ино­гда груп­па $Γ$ со­дер­жит та­кую бес­ко­неч­ную под­груп­пу $Γ_0$, что $J(γ)(z)=1$ для $γ\in Γ_0$. То­гда в оп­ре­де­ле­нии ря­да Пу­ан­ка­ре нуж­но брать сум­му по $γ\in Γ/Γ_0$. Это име­ет ме­сто для мо­ду­ляр­ной груп­пы при­ме­ра 3, где $Γ_0$ от­ве­ча­ет дроб­но-ли­ней­ным пре­об­ра­зо­ва­ни­ям ви­да $z\to z+n, n\in \mathbf Z$. Эта кон­ст­рук­ция да­ёт воз­мож­ность стро­ить ав­то­морф­ные фор­мы дос­та­точ­но боль­шо­го ве­са.

При­ве­дён­ные вы­ше при­ме­ры дис­крет­ных групп изу­ча­лись в 19 в. и даль­ней­шее раз­ви­тие тео­рии А. ф. шло по пу­ти обоб­ще­ния осн. ре­зуль­та­тов на бо­лее ши­ро­кие клас­сы групп, и пре­ж­де все­го на груп­пы в про­стран­ст­вах раз­мер­но­сти $n>1$.

В 20 в. рас­ши­ри­лись свя­зи тео­рии А. ф. с др. об­лас­тя­ми ма­те­ма­ти­ки, и пре­ж­де все­го с тео­ри­ей чи­сел. Од­ни­ми из пер­вых при­ло­же­ний к тео­рии чи­сел были ре­зуль­та­ты о чис­ле пред­став­ле­ний $r_F(n)$ це­ло­го чис­ла $n$ по­ло­жи­тель­но оп­ре­де­лён­ной квад­ра­тич­ной фор­мой $F(x, x)$, где $x\in \mathbf Z^s$ (т. е. о чис­ле ре­ше­ний урав­не­ния $F(x, x)=n$). Ока­за­лось, что ряд$$\sum_{n=0}^\infty r_F(n) \exp(2\pi inz)$$пред­став­ля­ет со­бой ав­то­морф­ную фор­му от­но­си­тель­но не­ко­то­рой под­груп­пы груп­пы $S\,L\,(2, \mathbf Z)$. От­сю­да вы­те­ка­ют не­три­ви­аль­ные оцен­ки для $r_F(n)$ при боль­ших $n$, а в не­ко­то­рых слу­ча­ях и яв­ные фор­му­лы.

Даль­ней­шее раз­ви­тие ариф­ме­тич. тео­рии квад­ра­тич­ных форм, как оп­ре­де­лён­ных, так и не­оп­ре­де­лён­ных, свя­за­но с ра­бо­та­ми нем. учё­но­го К. Зи­ге­ля, где изу­ча­лась их связь с ав­то­морф­ны­ми фор­ма­ми от не­сколь­ких пе­ре­мен­ных.

Дру­гое на­прав­ле­ние тео­рии А. ф. бе­рёт своё на­ча­ло в ра­бо­тах М. Эйх­ле­ра и Г. Ши­му­ры о дзе­та-функ­ци­ях мо­ду­ляр­ных кри­вых. Ес­ли $f(z)$ – ав­то­морф­ная фор­ма от­но­си­тель­но мо­ду­ляр­ной груп­пы, то она ин­ва­ри­ант­на от­но­си­тель­но сдви­га $z\to z+1$ и её мож­но раз­ло­жить в ряд Фу­рье$$\sum_{n=0}^\infty a_n \exp(2\pi inz).$$

За­ме­няя $exp(2\pi inz)$ на $n^{–s}$ и ум­но­жая весь ряд на $(2\pi )^{–s}Γ(s)$, где $Г(s)$ – гам­ма-функ­ция, по­лу­ча­ют функ­цию $ζ_f(s)$ ком­плекс­ной пе­ре­мен­ной $s$ – пре­об­ра­зо­ва­ние Мел­ли­на функ­ции $f(z)$. Ока­зы­ва­ет­ся, что функ­ция $ζ_f(s)$ удов­ле­тво­ря­ет функ­цио­наль­но­му урав­не­нию$$\zeta_f(s)=(-1)^{m/2}\zeta_f(m-s),$$где $m$ чёт­но. Раз­ви­тие это­го кру­га идей при­ве­ло к ги­по­те­зе Таниямы – Вей­ля, свя­зы­ваю­щей дзе­та-функ­ции эл­лип­тич. кри­вых и мо­ду­ляр­ные фор­мы. Эта ги­по­те­за бы­ла до­ка­за­на англ. учё­ным Э. Уайл­зом в 1994, что яви­лось осн. сред­ст­вом для до­ка­за­тель­ст­ва ве­ли­кой тео­ре­мы Фер­ма.

Да­ле­ко иду­щее обоб­ще­ние этой кон­ст­рук­ции бы­ло пред­ло­же­но в т. н. про­грам­ме Ленг­лен­дса, свя­зы­ваю­щей пред­став­ле­ния групп Га­луа по­лей ал­геб­ра­ич. чи­сел и ав­то­морф­ные фор­мы на груп­пах аде­лей. По­ми­мо ра­бот Р. Ленг­лен­дса к этой об­лас­ти от­но­сят­ся ра­бо­ты А. Вей­ля, И. М. Гель­фан­да, И. И. Пя­тец­ко­го-Ша­пи­ро и др.