ПРИБЛИЖЕ́НИЕ ФУ́НКЦИЙ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ПРИБЛИЖЕ́НИЕ ФУ́НКЦИЙ действительного переменного, нахождение для данной функции $f$ функции $g$ из некоторого определённого класса, в том или ином смысле близкой к $f$, дающей её приближённое представление. Существуют разл. варианты задачи о П. ф., решения которых зависят от того, какие функции приближают, какие функции используются для приближения, как строятся приближающие функции $g$, как понимается близость $f$ и $g$.
Для оценки близости функции $f$ и приближающей её функции $g$ используются (в зависимости от рассматриваемой задачи) метрики разл. функциональных пространств. Обычно это метрики пространств непрерывных функций $C$ и пространств $L_p, p⩾1$, функций, $p$-я степень которых интегрируема, в которых расстояния между функциями $f$ и $g$ (заданными на отрезке $[a, b]$) определяются формулами $$\|f-g\|_C=\max_{x \in [a,b]}\left| f(x)-g(x)\right| \tag{*}$$ и $$\|f-g\|_{L_p}=\left( \int\limits_a^b\left| f(x)-g(x)\right|^p dx \right)^{1/p}$$
Наиболее часто встречающейся и хорошо изученной является задача о П. ф. многочленами $$g(x)=\sum_{k=0}^n a_kφ_k(x),$$ где $φ_0, ..., φ_n$ – заданные функции, а $a_0, ..., a_n$ – произвольные числа. Обычно это алгебраич. многочлены $$g(x)=\sum_{k=0}^n a_x x^k,$$ или тригонометрич. полиномы $$g(x)=\sum_{k=0}^n (a_k \cos kx+b_k \sin kx).$$ Рассматриваются также полиномы по ортогональным многочленам, по собств. функциям краевых задач и т. п. Другим классич. средством приближения являются рациональные дроби $P(x)/Q(x)$, где $P$, $Q$ – алгебраич. многочлены заданной степени.
С 1960-х гг. значит. развитие получило приближение сплайнами. Их характерным примером являются кубич. сплайны, определяемые следующим образом. Отрезок $[a, b]$ разбивается точками $a=x_0\lt x_1\lt ... \lt x_n=b$, и на каждом отрезке $[x_k, x_k+1]$ кубич. сплайн является алгебраич. многочленом 3-й степени, причём эти многочлены подбираются так, что на всём отрезке $[a, b]$ непрерывны сам сплайн и его первая и вторая производные. Параметры, оставшиеся свободными, могут быть использованы для того, чтобы сплайн интерполировал в узлах $x_k$ приближаемую функцию. Улучшение приближения достигается за счёт увеличения числа узлов $x_k$ и удачного их расположения на отрезке $[a, b]$. Сплайны оказались удобными в вычислит. математике, с их помощью удалось решить также некоторые задачи теории функций.
Приближённые представления функций, а также сами функции на основе их приближённых представлений изучает теория приближения функций (употребляются также названия «теория аппроксимации функций» и «конструктивная теория функций»). К теории П. ф. обычно относят также задачи о приближении элементов в банаховых и общих метрич. пространствах.
Теория П. ф. берёт начало в работах П. Л. Чебышева. Он ввёл одно из осн. понятий – понятие наилучшего приближения полиномами и получил ряд результатов о наилучших приближениях. Наилучшим приближением непрерывной функции $f(x)$ полиномами $$\sum_{k=0}^n a_kφ_k(x)$$ в метрике ( * ) называется величина $$E_n(f)_C=\min\left |\left | f- \sum_{k=0}^n a_kφ_k\right |\right|_C,$$ где минимум берётся по всем числам $a_0, ..., a_n$. Полином, на котором этот минимум достигается, называется полиномом наилучшего приближения (для др. метрик определения аналогичны). Чебышев установил, что наилучшее П. ф. $x^{n+1}$ на отрезке $[–1,1]$ в метрике ( * ) алгебраич. многочленами степени $n$ равно $2^{–n}$, а многочлен наилучшего приближения таков, что для него $$x^{n+1}-\sum_{k=0}^n a_kφ_k(x)=2^{-n}\cos(n+1)\arccos x.$$ Следующая теорема Чебышева указывает характеристич. свойство полиномов наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций: алгебраич. многочлен $\sum_{k=0}^n a_kx^k$ является полиномом наилучшего приближения непрерывной функции $f$ в метрике (*) в том и только в том случае, когда существуют $n+2$ точки $a⩽x_1\lt ... \lt x_{n+2}⩽b,$ в которых разность $f(x)-\sum_{k=0}^na_k x^k$ принимает макс. значение своего модуля с последовательно чередующимися знаками.
Одним из первых результатов теории приближений является также теорема Вейерштрасса, согласно которой каждую непрерывную функцию можно приблизить в метрике (*) сколь угодно хорошо алгебраич. многочленами достаточно высокой степени.
С нач. 20 в. началось систематич. исследование поведения при $n→∞$ последовательности $E_n(f)$ наилучших П. ф. $f$ алгебраич. или тригонометрич. многочленами. С одной стороны, выясняется скорость стремления к нулю при росте $n$ величин $E_n(f)$ в зависимости от дифференциальных свойств функции f (т. н. прямые теоремы теории приближений), а с другой – изучаются свойства функции $f$ по последовательности её наилучших приближений (обратные теоремы теории приближений). В ряде важных случаев здесь получена полная характеристика свойств функции. Ниже приведены две такие теоремы.
Для того чтобы функция $f$ была аналитической на отрезке (т. е. в каждой точке этого отрезка представлялась степенным рядом, равномерно сходящимся к ней в некоторой окрестности этой точки), необходимо и достаточно, чтобы для последовательности её наилучших приближений алгебраич. многочленами были справедливы оценки $$E_n(f)_C⩽Aq^n,$$где $q\lt 1$ и $A$ – некоторые положительные числа, не зависящие от $n$ (теорема Бернштейна).
Для того чтобы функция $f$ периода $2π$ имела производную порядка $r$, $r=0, 1, ...,$ удовлетворяющую условию $$\left |f^{(r)}(x+h)-f^{(r)}(x)\right|⩽M|h|^α$$ ($0\lt α\lt 1$, $M$ – некоторое положительное число) или условию $$\left|f^{(r)}(x+h)-2f^{(r)}(x)+f^{(r)}(x-h)\right|⩽M|h|$$ ($M$ – некоторое положительное число), необходимо и достаточно, чтобы для наилучших П. ф. $f$ тригонометрич. полиномами были справедливы оценки $$E_n(f)_C⩽A/n^{r+α},$$ где $A$ – некоторое положительное число, не зависящее от $n$. В этом утверждении прямая теорема была в осн. доказана амер. математиком Д. Джексоном, а обратная является результатом исследований С. Н. Бернштейна, Ш. де Ла Валле Пуссена и амер. математика А. Зигмунда. Характеристика подобных классов функций, заданных на отрезке, в терминах наилучших приближений алгебраич. многочленами оказалась невозможной. Её удалось получить, рассматривая П. ф. с улучшением порядка приближения вблизи концов отрезка.
Возможность характеризовать классы функций с помощью их приближений полиномами нашла приложение в ряде общих вопросов математич. анализа. Развивая исследования по наилучшим П. ф. многих переменных полиномами, С. М. Никольский построил теорию вложений важных для анализа классов дифференцируемых функций мн. переменных, в которой справедливы не только прямые, но и полностью обращающие их обратные теоремы.
Для приближений в пространстве $L_2$ полином наилучшего приближения может быть легко построен. Для др. пространств нахождение полиномов наилучшего приближения является трудной задачей, и её удаётся решить только в отд. случаях. Это привело к разработке разного рода алгоритмов для приближённого нахождения полиномов наилучшего приближения.
Трудность нахождения полиномов наилучшего приближения отчасти объясняется тем, что оператор, сопоставляющий функции её полином наилучшего приближения, не является линейным: полином наилучшего приближения для суммы $f+u$ не обязательно равен сумме полиномов наилучшего П. ф. $f$ и $u$. Поэтому возникла задача изучения (по возможности простых) линейных операторов, сопоставляющих каждой функции полином, дающий хорошее приближение. Напр., для периодич. функции $f(x)$ можно брать частные суммы её Фурье ряда по тригонометрич. системе $S_n(f, x)$. При этом справедлива оценка (теорема Лебега) $$\left |\left |f-S_n(f)\right|\right|_C⩽(L_n+1)E_n(f)_C,$$ где $L_n$ – числа, растущие при росте $n$ как $(4/π^2)\ln n$, – т. н. константы Лебега. Эта оценка показывает, что полиномы $S_n(f, x)$ доставляют приближение, не очень сильно отличающееся от наилучшего.
Важный пример линейного оператора, используемого при П. ф., даёт интерполяция функций, когда требуется, чтобы в определённых точках (узлах интерполирования) совпадали значения функции и приближающего её полинома, а в более общем случае – и значения некоторых их производных. Оценка, подобная теореме Лебега, справедлива и для приближений интерполяционными тригонометрич. полиномами с равноотстоящими узлами интерполирования, а также для приближений интерполяционными алгебраич. многочленами на отрезке $[–1,1]$ с узлами $x_k=\cos\frac{2k-1}{2n} \pi$, $k=1, 2, ..., n$, т. е. в точках, где полином Чебышева $\cos n \arccos x$ обращается в нуль.
Для большинства встречающихся в анализе классов функций известны такие линейные операторы, построенные с помощью рядов Фурье или на основе интерполяционных полиномов, что значениями этих операторов являются полиномы, дающие на классе тот же порядок убывания приближений при $n→∞$, что и наилучшие приближения.
А. Н. Колмогоров начал изучение нового вопроса теории приближений – задачи о нахождении при фиксированном $n$ такой системы функций $φ_1, ..., φ_n$, для которой наилучшие П. ф. заданного класса полиномами $\sum_{k=1}^n a_kφ_k(x)$ были бы наименьшими (задача о поперечнике класса функций). В этом направлении в дальнейшем было выяснено, напр., что для ряда важных классов периодич. функций наилучшими в указанном смысле системами являются тригонометрич. полиномы.
Теория П. ф. – одно из наиболее интенсивно разрабатываемых направлений в теории функций. Идеи и методы теории приближений являются отправной точкой исследования в ряде вопросов вычислит. математики.