ИНТЕРПОЛЯ́ЦИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ИНТЕРПОЛЯ́ЦИЯ (от лат. interpolatio – подновление, изменение) в математике, метод восстановления (обычно приближённого) функции по значениям самой функции и, возможно, некоторых её производных на конечном множестве точек. Напр., если с помощью таблицы значений функции $f$ нужно найти её значение в точке $x$, не входящей в таблицу, находят 2 соседних значения аргумента $x_1$ и $x_2,\, {x}_1<{x}<{x}_2$, и пользуются формулой кусочно линейной интерполяции $$f(x)\cong f(x_1)\frac{x_2-x}{x_2-x_1}+f(x_2)\frac {x-x_1}{x_2-x_1}.$$
Для решения задач И. часто используются многочлены $P_n(x)=\sum_{k=0}^n c_kx^k$, где $c^k$ – действительные числа. Такой выбор аппроксимирующих функций связан с тем, что многочленами можно сколь угодно точно приблизить любую непрерывную функцию на конечном отрезке.
Рассматриваются 3 типа задач.
1. Простая (лагранжева) И. Функция $f(x)$ задана в точках (узлах И.) $a⩽x_0<{x}_1<...\,<{x}_{n}⩽{b}$. Ищется многочлен $P_n(x)$, удовлетворяющий условиям $P_n(x_i)(x_i)=f(x_i),\, i=0,\, 1,\,...,\,n$.
2. Кратная (эрмитова) И. Заданы значения функции и её производных $f^{(s)}(x_i),\, s=0,\, 1,\,...,\,k_i,\, k_i$ – натуральные числа, $i=0,\, 1,\,...,\,n$. Ищется многочлен $P_N(x)$, степени $N$ равной $\sum_{i=0}^n (k_1=1)-1$, удовлетворяющий условиям $P_N^{(s)} (x_i)=f^{(s)}(x_i), \,s=0, \,1,\,...,\,k_i ;\, i=0,\, 1,\,...,\,n$.
3. Биркгофова И. аналогична предыдущей, но в отд. точках могут не задаваться значения функции или значения её производных. Задачи 1 и 2 всегда разрешимы, их решения выписываются в явном виде. Задача 3 может не иметь решения.
Если на $[a,\,b]$ непрерывна производная $f^{(n+1)}(x)$ и $|f^{(n+1)}(x)|⩽M$, то для последовательности интерполяционных многочленов Лагранжа справедлива оценка $$\bigl|f(x)-P_n(x)\bigl|\leqslant \frac{M}{(n+1)!}\bigl|(x-x_0)(x-x_1)...\,(x-x_n)\bigl|.$$
Однако даже в этом случае при задании $f(x_i)$ с погрешностью модуль $P_n(x)$ при росте $n$ неограниченно возрастает. Поэтому использовать многочлены высокой степени для восстановления функций не рекомендуется. Кроме того, для любой последовательности узлов И. существует непрерывная на $[a,\,b]$ функция, для которой последовательность интерполяционных многочленов Лагранжа не сходится к этой функции.
Кусочно линейная И. не имеет подобных недостатков. Последовательность интерполяционных ломаных сходится к интерполируемой непрерывной функции при условии, что макс. расстояние между соседними узлами И. стремится к нулю. Если же значения функции в узлах И. заданы с погрешностью $δ$, то к погрешности кусочно линейной аппроксимации добавляется слагаемое, по модулю не превосходящее $δ$. Аналогичными свойствами обладают полиномиальные сплайны произвольной степени $k$ дефекта 1 с равномерными узлами склейки и интерполяции. Кусочно линейная функция – это полиномиальный сплайн степени 1 дефекта 1. Кроме многочленов и полиномиальных сплайнов, в задачах И. используются тригонометрич. многочлены, рациональные функции (отношения многочленов) и др. системы сплайнов.
Методы И. используются для приближённого интегрирования, в машинной графике, при численном решении дифференциальных уравнений. Развиваются также методы И. для функций нескольких переменных. При этом проблемы разрешимости задач И. оказываются более сложными. Многомерные задачи кусочно полиномиальной И. используются в методах численного решения краевых задач для уравнений с частными производными.