МА́РКОВСКИЙ ПРОЦЕ́СС

МА́РКОВСКИЙ ПРОЦЕ́СС, слу­чай­ный про­цесс без по­сле­дей­ст­вия. Класс М. п. ши­ро­ко при­ме­ня­ет­ся в разл. раз­де­лах ес­те­ст­во­зна­ния и тех­ни­ки. М. п. яв­ля­ют­ся мо­де­ля­ми мн. про­цес­сов в фи­зи­ке (рас­пад ра­дио­ак­тив­но­го ве­ще­ст­ва, кас­кад­ные про­цес­сы), в био­ло­гии (рост по­пу­ля­ций, про­цес­сы му­та­ций, рас­про­стра­не­ние эпи­де­мий), в ас­тро­но­мии (флук­туа­ция яр­ко­сти га­лак­тик), в хи­мии, в мас­со­во­го об­слу­жи­ва­ния тео­рии

.

Слу­чай­ный про­цесс

$X(t)$ на­зы­ва­ет­ся мар­ков­ским, ес­ли для лю­бых двух мо­мен­тов вре­ме­ни $t_0$ и $t_1$, t_0, ус­лов­ное рас­пре­де­ле­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X(t_1)$ при ус­ло­вии, что за­да­ны все зна­че­ния слу­чай­ных ве­ли­чин $X(t)$ при $t⩽t_0$, за­ви­сит толь­ко от зна­че­ния слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X(t_0)$. Это свой­ст­во, оп­ре­де­ляю­щее М. п., на­зы­ва­ет­ся мар­ков­ским свой­ст­вом или от­сут­ст­ви­ем по­сле­дей­ст­вия: со­стоя­ние про­цес­са $X(t)$ в мо­мент вре­ме­ни $t_0$ од­но­знач­но оп­ре­де­ля­ет рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей бу­ду­ще­го раз­ви­тия про­цес­са при $t>t_0$, а ин­фор­ма­ция о про­шлом по­ве­де­нии про­цес­са до мо­мен­та $t_0$ не влия­ет на это рас­пре­де­ле­ние. В этом смыс­ле М. п. обоб­ща­ют де­тер­ми­ни­ро­ван­ные про­цес­сы клас­сич. фи­зи­ки. Раз­ви­тие тео­рии М. п. на­ча­лось в 1907 с ра­бот А. А. Мар­ко­ва

 >>

, по­свя­щён­ных изу­че­нию по­сле­до­ва­тель­но­стей за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин (см. Мар­ко­ва цепь

 >>

). Об­щая тео­рия М. п. и их клас­си­фи­ка­ция бы­ли да­ны А. Н. Кол­мо­го­ро­вым

 >>

(1931).

Пер­вым был ис­сле­до­ван под­класс М. п. с дис­крет­ным мно­же­ст­вом со­стоя­ний. Пусть в ка­ж­дый мо­мент вре­ме­ни $t$ не­ко­то­рая сис­те­ма мо­жет на­хо­дить­ся в од­ном из со­стоя­ний $E_1(t), E_2(t),...,E_n(t)$ и с те­че­ни­ем вре­ме­ни слу­чай­ным об­ра­зом пе­ре­хо­дит из од­но­го со­стоя­ния в дру­гое. Для М. п. пе­ре­ход из со­стоя­ния $E_i(t)$ в не­ко­то­рый мо­мент вре­ме­ни в со­стоя­ние $E_j(t+△t)$ за про­ме­жу­ток вре­ме­ни $△t$ оп­ре­де­ля­ет­ся ве­ро­ят­но­стью $p_{ij}(t,△t)$ или $p_{ij}(△t)$ в од­но­род­ном слу­чае [т. е. ко­гда $p_{ij}(t,△t)$ за­ви­сит толь­ко от $△t$], при­чём эта ве­ро­ят­ность не за­ви­сит от то­го, как этот про­цесс раз­ви­вал­ся в про­шлом, т. е. до мо­мен­та вре­ме­ни $t$. Ве­ро­ят­но­сти $p_{ij}(t,△t)$ на­зы­ва­ют­ся пе­ре­ход­ны­ми ве­ро­ят­но­стя­ми. При очень ши­ро­ких ус­лови­ях пе­ре­ход­ные ве­ро­ят­но­сти М. п. удов­ле­тво­ря­ют сис­те­ме ли­ней­ных од­но­род­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний. Ти­пич­ным при­ме­ром та­ких М. п. яв­ля­ет­ся вет­вя­щий­ся про­цесс

.

Боль­шое зна­че­ние в при­ло­же­ни­ях име­ют М. п., для ко­то­рых слу­чай­ное со­стоя­ние не­ко­то­рой сис­те­мы за­ви­сит от не­пре­рыв­но ме­няю­щих­ся па­ра­мет­ров. Важ­ным пред­ста­ви­те­лем та­ких М. п. слу­жит фи­зич. про­цесс диф­фу­зии, в ко­то­ром со­стоя­ние сис­те­мы опи­сы­ва­ет­ся не­пре­рыв­но из­ме­няю­щей­ся ко­ор­ди­на­той не­ко­то­рой час­ти­цы. В этом слу­чае вме­сто пе­ре­ход­ных ве­ро­ят­но­стей рас­смат­ри­ва­ют со­от­вет­ст­вую­щие плот­но­сти ве­ро­ят­но­сти $p(t,x,y)$, по ко­то­рым вы­чис­ля­ют­ся ве­ро­ят­но­сти $p(t,x,y)dy$ то­го, что час­ти­ца, на­хо­див­шая­ся в точ­ке с ко­ор­ди­на­той $x$, че­рез про­ме­жу­ток вре­ме­ни $t$ бу­дет иметь ко­ор­ди­на­ту, за­клю­чён­ную ме­ж­ду $y$ и $y+dy$. При не­ко­то­рых об­щих ус­ло­ви­ях плот­но­сти $p(t,x,y)$ удов­ле­тво­ря­ют диф­фе­рен­ци­аль­но­му урав­не­нию с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми $$\frac{\partial }{\partial t}p(t,x,y)=-\frac{\partial }{\partial y}(A(y)p(t,x,y))+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}(B(y)p(t,x,y)),$$ ко­то­рое рас­смат­ри­ва­лось в фи­зи­ке для диф­фу­зи­он­но­го про­цес­са Фок­ке­ра – План­ка. В этом урав­не­нии ко­эф­фи­ци­ент $A(y)$ пред­став­ля­ет со­бой сред­нюю ско­рость из­ме­не­ния ко­ор­ди­на­ты $y$, а ко­эф­фи­ци­ент $B(y)$ – ин­тен­сив­ность слу­чай­ных ко­ле­ба­ний око­ло этой сред­ней ско­ро­сти. Важ­ным пред­ста­ви­те­лем это­го клас­са М. п. яв­ля­ет­ся бро­унов­ское дви­же­ние, ма­те­ма­тич. мо­де­лью ко­то­ро­го служит ви­не­ров­ский про­цесс

.