ВЕТВЯ́ЩИЙСЯ ПРОЦЕ́СС

ВЕТВЯ́ЩИЙСЯ ПРОЦЕ́СС, об­щее на­зва­ние слу­чай­ных про­цес­сов, опи­сы­ваю­щих ши­ро­кий круг яв­ле­ний, свя­зан­ных с раз­мно­же­ни­ем и пре­вра­ще­ни­ем к.-л. объ­ек­тов в дру­гие (напр., час­тиц в фи­зи­ке, мо­ле­кул в хи­мии, осо­бей в по­пу­ля­ци­ях в био­ло­гии). Осн. ма­те­ма­тич. пред­по­ло­же­ни­ем, вы­де­ляю­щим В. п. из все­го клас­са слу­чай­ных про­цес­сов, яв­ля­ет­ся пред­по­ло­же­ние не­за­ви­си­мо­сти пре­вра­ще­ний объ­ек­тов друг от дру­га. Про­стей­ший В. п. свя­зан с за­да­чей о вы­ро­ж­де­нии фа­ми­лий. Фа­ми­лия пе­ре­да­ёт­ся от от­ца к сы­ну. Пусть име­ет­ся один пра­роди­тель – ос­но­ва­тель фа­ми­лии. Да­лее эта фа­ми­лия пе­ре­хо­дит к его сы­новь­ям, его вну­кам из се­мей сы­но­вей и т. д. Пусть $Z(t)$ – чис­ло по­том­ков пра­ро­ди­те­ля по муж­ской ли­нии в $t$-м по­ко­ле­нии. То­гда чис­ло сы­но­вей $Z(1)$, чис­ло вну­ков $Z(2)$ по муж­ской ли­нии со­став­ля­ют ге­неа­ло­гич. де­ре­во по­том­ков – но­си­те­лей фа­ми­лии пра­ро­ди­те­ля. Ес­ли в не­ко­то­ром по­ко­ле­нии $Z(t)=0$, то фа­ми­лия вы­ро­ж­да­ет­ся. Ма­те­ма­тич. мо­де­лью по­сле­до­ва­тель­но­сти $Z(t), t=0, 1, 2…,$ бу­дет В. п., ес­ли пред­по­ло­жить, что чис­ло сы­но­вей ка­ж­до­го но­си­те­ля фа­ми­лии из ге­неа­ло­ги­че­ско­го де­ре­ва яв­ля­ет­ся слу­чай­ной ве­ли­чи­ной, эти слу­чай­ные ве­ли­чи­ны не­за­ви­си­мы (см. Не­за­ви­си­мость в тео­рии ве­ро­ят­но­стей) и име­ют оди­на­ко­вые рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей. Ес­ли сред­нее чис­ло сы­но­вей од­но­го от­ца $A \leqslant 1$, то ве­ро­ят­ность $q$ вы­ро­ж­де­ния В. п. рав­на 1. Ес­ли $A>1$, то ве­ро­ят­ность $q<1$. В этом слу­чае с ве­ро­ят­но­стью $1-q>0$ все $Z(t) \geqslant 1,\: t=1, 2 …$ . Дру­гой при­мер В. п. свя­зан с про­цес­са­ми раз­мно­же­ния час­тиц не­сколь­ких ти­пов. Пусть $Z_j(t), j=1, 2, …, n$, рав­но чис­лу час­тиц $j$-го ти­па в мо­мент вре­ме­ни $t$; ка­ж­дая час­ти­ца $j$-го ти­па с не­ко­то­ры­ми ве­ро­ят­но­стя­ми пре­вра­ща­ет­ся не­за­ви­си­мо от др. час­тиц в со­во­куп­но­сти час­тиц раз­ных ти­пов в по­сле­дую­щие мо­мен­ты вре­ме­ни. Вре­мя $t$ мож­но по­ни­мать ли­бо как но­мер по­ко­ле­ния час­тиц (дис­крет­ное вре­мя), ли­бо как не­пре­рыв­ное вре­мя. По­ве­де­ние при боль­ших $t$ сред­них $A_j(t)$ чи­сел час­тиц $Z_j(t)$ оп­ре­де­ля­ет ха­рак­тер эво­лю­ции В. п. $(Z_1(t), Z_2(t),…, Z_n(t))$ с ко­неч­ным чис­лом ти­пов час­тиц. Ес­ли при боль­ших $t$ все $Aj(t)→0$, В. п. на­зы­ва­ет­ся док­ри­ти­че­ским и ве­ро­ят­ность его вы­ро­ж­де­ния $q=1$; ес­ли же не­ко­то­рые $A_j(t)$ рас­тут как по­ка­за­тель­ные функ­ции, В. п. бу­дет над­кри­ти­че­ским и ве­ро­ят­ность его вы­ро­ж­де­ния $q<1$. В кри­тич. В. п. $A_j(t)$ мо­жет рас­ти сте­пен­ным об­ра­зом, но ве­ро­ят­ность вы­ро­ж­де­ния $q=1$.

За­да­ча о вы­ро­ж­де­нии фа­ми­лии рас­смат­ри­ва­лась в по­след­ней четв. 19 в. в ра­бо­тах англ. ста­ти­сти­ков Ф. Галь­то­на и Дж. Н. Ват­со­на. Оп­ре­де­ле­ние В. п. с ко­неч­ным чис­лом ти­пов час­тиц и сам тер­мин «В. п.» впер­вые вве­де­ны А. Н. Кол­мо­го­ро­вым и Н. А. Дмит­рие­вым (1947). С тех пор этот тер­мин стал об­ще­при­нятым. В мно­го­числ. пуб­ли­ка­ци­ях под­роб­но изу­че­ны В. п., в ко­то­рых раз­мно­же­ние час­тиц за­ви­сит от не­ко­то­рых па­ра­мет­ров (напр., от воз­рас­та, раз­ме­ра или энер­гии), а так­же от их по­ло­же­ния в про­стран­ст­ве и от мо­мен­та вре­ме­ни раз­мно­же­ния. В об­щей мо­де­ли В. п. пред­по­ла­га­ет­ся так­же, что час­ти­ца мо­жет про­из­во­дить по­том­ст­во неск. раз на про­тя­же­нии сво­ей жиз­ни. В мо­де­лях В. п. в т. н. слу­чай­ной сре­де час­ти­цы раз­мно­жа­ют­ся, хо­тя и не­за­ви­си­мо друг от дру­га, но при этом ис­пы­ты­ва­ют влия­ние об­ще­го для всех час­тиц со­стоя­ния слу­чай­ной сре­ды. При ис­сле­до­ва­ни­ях асим­пто­тич. по­ве­де­ния рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей чис­ла час­тиц $Z(t)$ при боль­ших $t$ ис­поль­зу­ют­ся раз­но­об­раз­ные ма­те­ма­тич. ме­то­ды тео­рии ве­ро­ят­но­стей и ма­те­ма­тич. ста­ти­сти­ки, а так­же ме­то­ды тео­рии диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, не­ли­ней­ных ин­те­граль­ных урав­не­ний и функ­цио­наль­но­го ана­ли­за.

Разл. мо­де­ли В. п. на­хо­дят при­ме­не­ние при рас­чё­тах ре­аль­ных био­ло­гич., ге­нетич., эко­ло­гич., фи­зич., хи­мич. и тех­нич. про­цес­сов. В ре­аль­ных про­цес­сах час­то на­ру­ша­ет­ся ус­ло­вие не­за­ви­си­мо­сти раз­мно­же­ния разл. объ­ек­тов; на­обо­рот, раз­мно­же­ние обыч­но свя­за­но с взаи­мо­дей­ст­ви­ем осо­бей или час­тиц ме­ж­ду со­бой. Так об­сто­ит де­ло во мн. био­ло­гич. про­цес­сах раз­мно­же­ния, в про­цес­сах рас­про­стра­не­ния эпи­де­мии, в цеп­ных хи­мич. ре­ак­ци­ях и т. п. Од­на­ко на­чаль­ные ста­дии раз­ви­тия та­ких про­цес­сов ино­гда мож­но рас­счи­ты­вать с по­мо­щью со­от­вет­ст­вен­но по­доб­ран­ных мо­де­лей В. п. Это мож­но де­лать в тех слу­ча­ях, ко­гда в сре­де име­ет­ся не очень мно­го ак­тив­ных час­тиц, ко­то­рые при ма­лых кон­цен­тра­ци­ях поч­ти не встре­ча­ют­ся друг с дру­гом, а из­ме­не­ния со­стоя­ния сис­те­мы про­ис­хо­дят при встре­чах этих ак­тив­ных час­тиц с час­ти­ца­ми сре­ды. В про­цес­сах рас­про­стра­не­ния эпи­де­мии, напр., «ак­тив­ны­ми час­ти­ца­ми» мож­но счи­тать боль­ных ин­ди­ви­дуу­мов. В ге­не­ти­ке с по­мо­щью В. п. мож­но рас­счи­ты­вать яв­ле­ния, свя­зан­ные с му­та­ция­ми. В. п. с ко­неч­ным чи­слом ти­пов час­тиц мо­жет слу­жить ма­те­ма­тич. мо­де­лью при рас­чё­тах цеп­ных ре­ак­ций; В. п. с диф­фу­зи­ей час­тиц в ог­ра­ни­чен­ной об­лас­ти – мо­де­лью про­цес­сов, про­те­каю­щих в ядер­ных ре­ак­то­рах. Яв­ле­ния, воз­ни­каю­щие в лив­нях кос­мич. лу­чей, так­же мо­гут изу­чать­ся с по­мо­щью В. п. В те­ле­фо­нии рас­чёт не­ко­то­рых сис­тем с ожи­да­ни­ем так­же мож­но сво­дить к мо­де­лям вет­вя­ще­го­ся про­цес­са.