СЛУЧА́ЙНЫЙ ПРОЦЕ́СС

СЛУЧА́ЙНЫЙ ПРОЦЕ́СС (сто­хас­ти­че­ский про­цесс, ве­ро­ят­но­ст­ный про­цесс), про­цесс из­ме­не­ния во вре­ме­ни к.-л. сис­те­мы в со­от­вет­ст­вии с ве­ро­ят­но­ст­ны­ми за­ко­но­мер­но­стя­ми. Од­ним из при­ме­ров С. п. яв­ля­ет­ся фи­зич. про­цесс бро­унов­ско­го дви­же­ния. В про­стей­шем слу­чае С. п. – од­но­па­ра­мет­рич. се­мей­ст­во слу­чай­ных ве­ли­чин $X(t)$, $t∈T$, где па­ра­метр $t$ при­ни­ма­ет зна­че­ния из под­мно­же­ст­ва $T$ дей­ст­вит. пря­мой и обыч­но на­зы­ва­ет­ся вре­ме­нем. Как пра­ви­ло, $X(t)$ – чи­сло­вая функ­ция вре­ме­ни $t$; ес­ли же зна­че­ния $X(t)$ яв­ля­ют­ся век­то­ра­ми, то С. п. на­зы­ва­ет­ся мно­го­мер­ным. Воз­мож­ные зна­че­ния $X(t)$ оп­ре­де­ля­ют со­стоя­ния С. п. в лю­бой мо­мент вре­ме­ни $t$, ко­то­рые мо­гут быть пред­став­ле­ны как точ­ки не­ко­то­ро­го фа­зо­во­го про­стран­ст­ва. С. п. $X(t)$ опи­сы­ва­ет­ся со­во­куп­но­стью со­вме­ст­ных рас­пре­де­ле­ний ве­ро­ят­но­стей слу­чай­ных ве­ли­чин $X(t_1)$,$...$,$X(t_n)$ для все­воз­мож­ных мо­мен­тов вре­ме­ни $t_1$,$...$,$t_n$ при лю­бом на­ту­раль­ном $n$, ко­то­рые на­зы­ва­ют­ся ко­неч­но­мер­ны­ми рас­пре­де­ле­ния­ми С. п. $X(t)$. Тео­рия С. п. яв­ля­ет­ся наи­бо­лее раз­ви­той вет­вью об­щей тео­рии слу­чай­ных функ­ций про­из­воль­но­го ар­гу­мен­та (по­ня­тие «С. п.» ис­то­ри­че­ски свя­за­но с вре­менно́й ин­тер­пре­та­ци­ей па­ра­мет­ра $t$; ес­ли же $t$ – век­тор, то го­во­рят о слу­чай­ном по­ле).

В тео­рии С. п. рас­смат­ри­ва­ют­ся разл. клас­сы и под­клас­сы С. п., свя­зан­ные с раз­ны­ми об­лас­тя­ми при­ме­не­ния. С. п. клас­си­фи­ци­ру­ют пре­ж­де все­го по строе­нию фа­зо­во­го про­стран­ст­ва, ко­то­рое мо­жет быть дис­крет­ным и не­пре­рыв­ным, и по ха­рак­те­ру из­ме­не­ния ар­гу­мен­та $t$ (дис­крет­ное или не­пре­рыв­ное вре­мя). С. п. с дис­крет­ным вре­ме­нем ($t$ при­ни­ма­ет це­ло­чис­лен­ные зна­че­ния) на­зы­ва­ет­ся так­же слу­чай­ной по­сле­до­ва­тель­но­стью или вре­менны́м ря­дом.

Бо­лее со­дер­жа­тель­на клас­си­фи­ка­ция С. п. по за­ви­си­мо­сти ме­ж­ду зна­че­ния­ми $X(t)$ в разл. мо­мен­ты вре­ме­ни $t$. В пер­вую оче­редь вы­де­ля­ют­ся: С. п. с не­за­ви­си­мы­ми зна­че­ния­ми: при лю­бых $t_1$,$t_2$,$t_1≠t_2$ слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $X(t_1)$,$X(t_2)$ не­за­ви­си­мы; С. п. с не­за­ви­си­мы­ми при­ра­щения­ми: для лю­бых не­пе­ре­се­каю­щих­ся про­ме­жут­ков [$t'_1$,$t'_2$] и [$t''_1$,$t''_2$], $t'_2 < t''_1$, слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $X(t'_2) - X(t'_1)$ и $X(t''_2) - X(t''_1)$ не­за­ви­си­мы; мар­ков­ские про­цес­сы: ус­лов­ное рас­пре­де­ле­ние $X(t_1)$, $t_0 < t_1$, при ус­ло­вии, что за­да­ны все зна­че­ния $X(t)$ при $t ⩽ t_0$, за­ви­сит толь­ко от $X(t_0)$; ста­цио­нар­ные слу­чай­ные про­цес­сы: ве­ро­ят­но­ст­ные ха­рак­те­ри­сти­ки С. п. не­из­мен­ны во вре­ме­ни; в ча­ст­но­сти, при лю­бых $t$ и $s$ слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $X(t)$, $X(t+s)$ име­ют од­но и то же рас­пре­де­ле­ние, па­ры слу­чай­ных ве­ли­чин ($X(t_1)$, $X(t_2)$) и ($X(t_1+s)$, $X(t_2+s)$) име­ют од­но и то же со­вме­ст­ное рас­пре­де­ле­ние и т. д. (сре­ди ста­цио­нар­ных слу­чай­ных про­цес­сов осо­бую роль иг­ра­ют т. н. га­ус­сов­ские про­цес­сы, у ко­то­рых все ко­неч­но­мер­ные рас­пре­де­ле­ния яв­ля­ют­ся нор­маль­ны­ми рас­пре­де­ле­ния­ми). Во 2-й пол. 20 в. боль­шое раз­ви­тие по­лу­чи­ла тео­рия мар­тин­га­лов.

Спо­со­бы опи­са­ния и ана­ли­за С. п. раз­но­об­раз­ны и при­спо­соб­ле­ны к тем или иным клас­сам; напр., в тео­рии мар­ков­ских про­цес­сов ис­поль­зу­ют­ся ме­то­ды ре­ше­ния диф­фе­рен­ци­аль­ных и ин­тег­ро-диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, в тео­рии ста­цио­нар­ных С. п. – ме­то­ды функ­цио­наль­но­го ана­ли­за.

За­ро­ж­де­ние тео­рии С. п. свя­за­но с ра­бо­та­ми А. А. Мар­ко­ва (стар­ше­го) по изу­че­нию по­сле­до­ва­тель­но­сти за­ви­си­мых ис­пы­та­ний – Мар­ко­ва це­пей (С. п. с дис­крет­ным мно­же­ст­вом со­стоя­ний и дис­крет­ным вре­ме­нем). См. так­же Вет­вя­щий­ся про­цесс, Ви­не­ров­ский про­цесс, Пу­ас­со­нов­ский про­цесс.