СЛУЧА́ЙНАЯ ФУ́НКЦИЯ

СЛУЧА́ЙНАЯ ФУ́НКЦИЯ, функ­ция $X(t)$ про­из­воль­но­го ар­гу­мен­та $t$, $t∈T$, зна­че­ния ко­то­рой при лю­бом $t$ яв­ля­ют­ся слу­чай­ной ве­ли­чи­ной с оп­ре­де­лён­ным рас­пре­де­ле­ни­ем ве­ро­ят­но­стей. С. ф. мо­жет при­ни­мать чи­сло­вые зна­че­ния или, бо­лее об­що, зна­че­ния из к.-л. век­тор­но­го про­стран­ст­ва. Ес­ли мно­же­ст­во $T$ зна­че­ний $t$ ко­неч­но, то С. ф. пред­став­ля­ет со­бой ко­неч­ный на­бор слу­чай­ных ве­ли­чин, ко­то­рый мож­но рас­смат­ри­вать как од­ну мно­го­мер­ную слу­чай­ную ве­ли­чи­ну (слу­чай­ный век­тор). Из чис­ла С. ф. с бес­ко­неч­ным $T$ наи­бо­лее изу­чен слу­чай, ко­гда $t$ при­ни­ма­ет чи­сло­вые зна­че­ния и ин­тер­пре­ти­ру­ет­ся как вре­мя; со­от­вет­ст­вую­щая С. ф. $X(t)$ то­гда на­зы­ва­ет­ся слу­чай­ным про­цес­сом (ес­ли $t$ про­бе­га­ет лишь це­ло­чис­лен­ные зна­че­ния, то так­же и слу­чай­ной по­сле­до­ва­тель­но­стью, или вре­мен­ны́м ря­дом). Ес­ли же зна­че­ния­ми ар­гумен­та $t$ яв­ля­ют­ся точ­ки из не­ко­то­рой об­лас­ти мно­го­мер­но­го про­стран­ст­ва, то С. ф. на­зы­ва­ют слу­чай­ным по­лем. Ти­пич­ны­ми при­ме­ра­ми С. ф., от­лич­ных от слу­чай­ных про­цес­сов, яв­ля­ют­ся по­ля ско­ро­сти, дав­ле­ния и тем­пе­ра­ту­ры тур­бу­лент­но­го те­че­ния жид­ко­сти или га­за, а так­же вы­со­ты взвол­но­ван­ной мор. по­верх­но­сти или по­верх­но­сти к.-л. ше­ро­хо­ва­той пла­стин­ки.

Ма­те­ма­тич. тео­рия С. ф. сов­па­да­ет с тео­ри­ей рас­пре­де­ле­ний ве­ро­ят­но­стей в функ­цио­наль­ном про­стран­ст­ве зна­чений функ­ции $X(t)$; эти рас­пре­де­ле­ния мо­гут за­да­вать­ся на­бо­ром ко­неч­но­мер­ных рас­пре­де­ле­ний ве­ро­ят­но­стей для со­во­куп­но­стей слу­чай­ных ве­ли­чин $X(t_1)$,$X(t_2)$,$...$,$X(t_n)$, от­ве­чаю­щих все­воз­мож­ным ко­неч­ным под­мно­же­ст­вам $t_1$,$t_2$,$...$,$t_n$.