МАРТИНГА́Л

МАРТИНГА́Л, слу­чай­ный про­цесс, опи­са­ние ве­ро­ят­но­ст­ной струк­ту­ры ко­то­ро­го да­ёт­ся в тер­ми­нах ус­лов­ных ма­те­ма­тич. ожи­да­ний.

Пусть ($Ω,𝒜,\mathbf{P}$) – ве­ро­ят­но­ст­ное про­стран­ст­во, на ко­то­ром за­да­на по­сле­до­ва­тель­ность $σ$-ал­гебр $𝒜_0⊆𝒜_1⊆...⊆𝒜$. По­сле­до­ва­тель­ность дей­ст­ви­тель­ных слу­чай­ных ве­ли­чин $M=(M_n)_{n⩾0}$, за­дан­ная на фильт­ров. ве­ро­ят­но­ст­ном про­стран­ст­ве ($Ω, 𝒜, (𝒜_n)_{n⩾0}, \mathbf{P}$), на­зы­ва­ет­ся $М$. [от­но­си­тель­но $σ$ -ал­гебр $(𝒜_n)_{n⩾0}$ и ве­ро­ят­но­сти $\mathbf{P}$ ], ес­ли $\mathbf{E} \mid M_n \mid < \infty $ и ус­лов­ное мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние $\mathbf{E}(M_{n+1}\mid 𝒜_n)= M_n$ ($\mathbf{P}$-поч­ти на­вер­ное, т. е. ра­вен­ст­во спра­вед­ли­во на со­бы­тии, ве­ро­ят­ность ко­то­ро­го рав­на 1) для ка­ж­до­го $n⩾0$. Для вся­ко­го $М$. ма­те­ма­тич. ожи­да­ние $\mathbf{E}M_n$ не за­ви­сит от $n$.

В тех слу­ча­ях, ко­гда $\mathbf{E}(M_{n+1}\mid 𝒜_n)⩾ M_n$ ($\mathbf{P}$-поч­ти на­вер­ное), го­во­рят, что $M=(M_n)_{n⩾0}$ есть суб­мар­тин­гал. В слу­чае вы­пол­не­ния не­ра­венств $\mathbf{E}(M_{n+1}\mid 𝒜_n)⩽ M_n$ ($\mathbf{P}$-поч­ти на­вер­ное) го­во­рят, что $M=(M_n)_{n⩾0}$ есть су­пер­мар­тин­гал. Вся­кий су­пер­мар­тин­гал из­ме­не­ни­ем зна­ка мож­но пре­вра­тить в суб­мар­тин­гал. Для суб­мар­тин­га­лов спра­вед­ли­во раз­ло­же­ние Ду­ба: ес­ли $X=(X_n)_{n⩾0}$ – суб­мар­тин­гал, то най­дёт­ся та­кой $М$. $M=(M_n)_{n⩾0}$ и воз­рас­таю­щая пред­ска­зуе­мая по­сле­до­ва­тель­ность $A=(A_n)_{n⩾0}$ (т. е. $A_0=0, A_n$ яв­ля­ют­ся $𝒜_n–1$-из­ме­ри­мы­ми при ка­ж­дом $n⩾1$), что $\mathbf{P}$-поч­ти на­вер­ное $$X_n=M_n+A_n,\: n⩾0.$$

Пе­ре­чис­лен­ные по­ня­тия пе­ре­но­сят­ся на слу­чай не­пре­рыв­но­го вре­ме­ни. Тео­рия М. в не­пре­рыв­ном вре­ме­ни лег­ла в ос­но­ву т. н. сто­хас­тич. ис­чис­ле­ния (где ис­поль­зу­ют­ся по­ня­тие сто­хас­тич. ин­те­гра­ла и сто­хас­ти­че­ские диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния). Клас­сич. при­ме­ра­ми М. яв­ля­ют­ся бро­унов­ское дви­же­ние (ви­не­ров­ский про­цесс), цен­три­ров. про­цесс Пу­ас­со­на, не­ко­то­рые клас­сы ин­те­гра­лов по бро­унов­ско­му дви­же­нию и цен­три­ров. пу­ас­со­нов­ской ме­ре.

За­ро­ж­де­ние тео­рии М., как и мно­гих осн. по­ня­тий тео­рии ве­ро­ят­но­стей, свя­за­но с ма­те­ма­тич. ана­ли­зом вы­иг­ры­ша в т. н. без­обид­ных (спра­вед­ли­вых) иг­рах. Напр., ес­ли не­за­ви­си­мые слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $X_t, t=1,2,...,$ при­ни­ма­ют два зна­че­ния +1 и –1 с ве­ро­ят­но­стя­ми ¹/₂, оп­ре­де­ляя слу­чай­ный вы­иг­рыш и про­иг­рыш иг­ро­ка на $t$-м ша­ге иг­ры, его став­ка на пер­вом ша­ге есть $a_1$, а на $t$-м ша­ге, $t⩾2$, есть $a_t=a_t(X_1,...,X_{t-1})$, т. е. на $t$-м ша­ге, $t⩾ 2$, иг­рок вы­би­ра­ет став­ку по не­ко­то­ро­му пра­ви­лу, учи­ты­ваю­ще­му его вы­иг­ры­ши и про­иг­ры­ши на пре­ды­ду­щих ша­гах, то ка­пи­тал $M_n$ иг­ро­ка в мо­мент $n$ есть$$M_n=a_1X_1+...+a_nX_n=M_{n–1}+a_nX_n, \:M_0=0.$$ По­это­му при всех $n⩾1$ ус­лов­ное ма­те­ма­тич. ожи­да­ние$$\mathbf{E}(Mn\mid X_1,...,X_{n–1}) = M_{n–1}.$$ Имен­но это свой­ст­во, оп­ре­де­ляю­щее т. н. без­обид­ную (спра­вед­ли­вую) иг­ру, по­ло­же­но в ос­но­ву об­ще­го оп­ре­де­ле­ния мар­тин­га­ла.