НЕЗАВИ́СИМОСТЬ

НЕЗАВИ́СИМОСТЬ в тео­рии ве­ро­ят­но­стей – од­но из важ­ней­ших спе­ци­фич. по­ня­тий тео­рии ве­ро­ят­но­стей. Пусть $A$ и $B$ – два слу­чай­ных со­бы­тия, а $\text P(A)$ и $\text P(B)$ – их ве­ро­ят­но­сти. Ус­лов­ную ве­ро­ят­ность $\text P(A|B)$ со­бы­тия $A$ при ус­ло­вии осу­ще­ст­в­ле­ния со­бы­тия $B$ (с $\text P(B) > 0$) оп­ре­де­ля­ют ра­вен­ст­вом $\text P(A|B)=\text P\text (A\cap B)/\text P(B)$, где $\text P(A\cap B)$ – ве­ро­ят­ность со­вме­ст­но­го осу­ще­ст­в­ле­ния со­бы­тий $A$ и $B$. Со­бы­тие $A$ на­зы­ва­ют не­за­ви­си­мым от со­бы­тия $B$, ес­ли $\text P(A|B)=\text P(A)$. Это ра­вен­ст­во мо­жет быть за­пи­са­но в ви­де, сим­мет­рич­ном от­но­си­тель­но $A$ и $B$ и сво­бод­ном от ус­ло­вия $\text P(B)>0$:

$$\text P(A\cap B)=\text P(A)\text P(B),\tag1$$от­ку­да вид­но, что ес­ли со­бы­тие $A$ не за­ви­сит от $B$, то и $B$ не за­ви­сит от $A$. Ста­ти­стич. смысл оп­ре­де­ле­ния Н. про­яс­ня­ет­ся при пе­ре­хо­де от ве­ро­ят­но­стей со­бы­тий к час­то­там: ес­ли про­из­во­дит­ся боль­шое чис­ло ис­пы­та­ний, то ме­ж­ду час­то­той по­яв­ле­ния со­бы­тия $A$ во всех ис­пы­та­ни­ях и час­то­той его по­яв­ле­ния в тех ис­пы­та­ни­ях, в ко­то­рых про­ис­хо­дит со­бы­тие $B$, долж­но иметь ме­сто при­бли­жён­ное ра­вен­ст­во. Н. со­бы­тий оз­на­ча­ет ли­бо от­сут­ст­вие свя­зи ме­ж­ду на­сту­п­ле­ни­ем этих со­бы­тий, ли­бо не­су­ще­ст­вен­ный ха­рак­тер этой свя­зи.

При оп­ре­де­ле­нии Н. не­сколь­ких со­бы­тий раз­ли­ча­ют по­пар­ную и вза­им­ную Н. Со­бы­тия $A_1,\: A_2,\:\dots,\: A_n$ на­зы­ва­ют­ся по­пар­но не­за­ви­си­мы­ми, ес­ли лю­бые два из них не­за­ви­си­мы в смыс­ле оп­ре­де­ле­ния (1). Со­бы­тия $A_1,\: A_2,\:\dots,\: A_n$ на­зы­ва­ют­ся вза­им­но не­за­ви­си­мы­ми, ес­ли для лю­бо­го на­ту­раль­но­го чис­ла $k,\; 2⩽k⩽n$, и всех на­бо­ров чи­сел $1 ⩽\: i_1 <\:...<\:i_k⩽\:n$ справедливы равенства$$\text P(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap...\cap A_{i_k})=\text P(A_{i_1})\text P(A_{i_2})...\text P(A_{i_k}).\tag2$$

Ус­ло­вие по­пар­ной Н. яв­ля­ет­ся ча­стью ус­ло­вия вза­им­ной Н. (при $k$ = 2). Ус­ло­вие (2) со­дер­жит $2^n-n-1$ со­от­но­ше­ний, и при боль­ших $n$ его про­вер­ка за­труд­ни­тель­на. Од­на­ко в мо­де­лях тео­рии ве­ро­ят­но­стей Н. обыч­но вво­дит­ся как до­пу­ще­ние.

По­ня­тие Н. пе­ре­но­сит­ся и на слу­чай­ные ве­ли­чи­ны. Слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $X$ и $Y$ на­зы­ва­ют­ся не­за­ви­си­мы­ми, ес­ли для лю­бых ин­тер­ва­лов $A$ и $B$ дей­ст­ви­тель­ной пря­мой со­бы­тия, за­клю­чаю­щие­ся в том, что зна­че­ние $X$ при­над­ле­жит ин­тер­ва­лу $A$, а зна­че­ние $Y$ – ин­тер­ва­лу $B$, не­за­ви­си­мы. Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ле­ние Н. для не­сколь­ких слу­чай­ных ве­ли­чин.

На пред­по­ло­же­нии Н. тех или иных со­бы­тий и слу­чай­ных ве­ли­чин ос­но­ва­ны важ­ней­шие схе­мы тео­рии ве­ро­ят­но­стей (см., напр., Бер­нул­ли схе­ма). Ос­нов­ные фун­дам. ре­зуль­та­ты тео­рии ве­ро­ят­но­стей пер­во­на­чаль­но бы­ли до­ка­за­ны в пред­по­ло­же­нии Н. слу­чай­ных ве­ли­чин (см. Пре­дель­ные тео­ре­мы тео­рии ве­ро­ят­но­стей).