МА́ССОВОГО ОБСЛУ́ЖИВАНИЯ ТЕО́РИЯ

МА́ССОВОГО ОБСЛУ́ЖИВАНИЯ ТЕО́РИЯ, раз­дел тео­рии ве­ро­ят­но­стей, изу­чаю­щий по­то­ки тре­бо­ва­ний, по­сту­паю­щие в сис­те­мы об­слу­жи­ва­ния и вы­хо­дя­щие из них, дли­тель­но­сти ожи­да­ния на­ча­ла об­слу­жи­ва­ния, дли­ны оче­ре­дей и др. ха­рак­те­ри­сти­ки сис­тем об­слу­жи­ва­ния. Це­лью ис­сле­до­ва­ний яв­ля­ет­ся ра­цио­наль­ный вы­бор струк­ту­ры сис­те­мы и про­цес­са об­слу­жи­ва­ния. Мн. ре­аль­но про­те­каю­щие про­цес­сы об­слу­жи­ва­ния на транс­пор­те, в тор­гов­ле, ме­ди­ци­не и т. д. мож­но изу­чать, ис­хо­дя из со­от­вет­ст­вую­щих им ма­те­ма­тич. мо­де­лей сис­тем об­слу­жи­ва­ния. Сти­му­лом раз­ви­тия М. о. т. в 1920-х гг. по­слу­жи­ло соз­да­ние сис­тем те­ле­фон­ной свя­зи и не­об­хо­ди­мость рас­чё­та их про­пу­ск­ной спо­соб­но­сти. С 1970-х гг. в М. о. т. раз­ра­ба­ты­ва­ют­ся ме­то­ды ана­ли­за и оп­ти­ми­за­ции про­цес­сов об­слу­жи­ва­ния с ис­поль­зо­ва­ни­ем ЭВМ.

В боль­шин­ст­ве за­дач М. о. т. пред­пола­га­ет­ся, что вхо­дя­щий по­ток тре­бо­ва­ний яв­ля­ет­ся слу­чай­ным, т. е. по­сле­до­ва­тель­ность $ \{t_j \}_{j⩾1}$ мо­мен­тов вре­ме­ни по­сту­п­ле­ния тре­бо­ва­ний на об­слу­жи­ва­ние рас­смат­ри­ва­ет­ся как по­сле­до­ва­тель­ность слу­чай­ных ве­ли­чин. Тре­бо­ва­ния ха­рак­те­ри­зу­ют­ся дли­тель­но­стью об­слу­жи­ва­ния и мо­гут от­но­сить­ся к од­но­му или не­сколь­ким клас­сам. При­над­леж­ность тре­бо­ва­ний к оп­ре­де­лён­ным клас­сам мо­жет слу­жить ос­но­ва­ни­ем для при­ори­тет­но­го об­слу­жи­ва­ния. Тре­бо­ва­ния, имею­щие аб­со­лют­ный при­ори­тет, об­слу­жи­ва­ют­ся в пер­вую оче­редь, при их по­сту­п­ле­нии в сис­те­му об­слу­жи­ва­ния пре­ры­ва­ет­ся об­слу­жи­ва­ние тре­бо­ва­ний с низ­шим при­ори­те­том. Напр., аб­со­лют­ный при­ори­тет име­ют не­ко­то­рые ви­ды от­ка­зов в вы­чис­ли­тель­ных уст­рой­ст­вах, «об­слу­жи­ва­ние» та­ких «тре­бо­ва­ний» со­сто­ит в их вы­яв­ле­нии и уст­ра­не­нии.

Час­то в ка­че­ст­ве при­бли­же­ния при­ни­ма­ет­ся, что вхо­дя­щий в сис­те­му об­слу­жи­ва­ния по­ток тре­бо­ва­ний яв­ля­ет­ся пу­ас­со­нов­ским про­цес­сом с по­сто­ян­ной ин­тен­сив­но­стью $λ$, т. е. не­от­ри­ца­тель­ные слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $t_{j+1}-t_j, j= 1,2,...$, яв­ля­ют­ся не­за­ви­си­мы­ми слу­чай­ны­ми ве­ли­чи­на­ми с экс­по­нен­ци­аль­ной функ­ци­ей рас­пре­де­ле­ния $1-e^{-λt}, t>0$, где $λ$ – ин­тен­сив­ность по­то­ка, рав­ная ср. чис­лу тре­бо­ва­ний, по­сту­паю­щих в сис­те­му об­слу­жи­ва­ния в еди­ни­цу вре­ме­ни. Про­дол­жи­тель­но­сти об­слу­жи­ва­ния пред­по­ла­га­ют­ся вза­им­но не­за­ви­си­мы­ми слу­чай­ны­ми ве­ли­чи­на­ми с функ­ци­ей рас­пре­де­ле­ния $G(t)$, имею­щей ко­неч­ное сред­нее зна­че­ние $m$. Сис­те­ма об­слу­жи­ва­ния обыч­но мо­жет быть пред­став­ле­на в ви­де на­бо­ра уст­ройств (ка­на­лов) об­слу­жи­ва­ния. Ес­ли все ка­на­лы за­ня­ты об­слу­жи­ва­ни­ем, то вновь по­сту­паю­щие тре­бо­ва­ния на­ка­п­ли­ва­ют­ся и мо­гут об­ра­зо­вы­вать оче­ре­ди (ино­гда М. о. т. на­зы­ва­ют тео­ри­ей оче­ре­дей). Дви­же­ние оче­ре­ди мо­жет быть ор­га­ни­зо­ва­но по-раз­но­му: напр., в по­ряд­ке по­сту­п­ле­ния, что ти­пич­но для мн. про­цес­сов об­слу­жи­ва­ния в тор­гов­ле, или в об­рат­ном по­ряд­ке: «при­шёл по­след­ним – об­слу­жи­ва­ешь­ся пер­вым», что ти­пич­но для не­ко­то­рых вы­чис­лит. сис­тем.

При­ме­ром сис­те­мы об­слу­жи­ва­ния яв­ля­ет­ся сис­те­ма, со­стоя­щая из од­но­го об­слу­жи­ваю­ще­го уст­рой­ст­ва, в ко­то­рую по­сту­па­ет пу­ас­со­нов­ский по­ток тре­бо­ва­ний ин­тен­сив­но­сти $λ$, функ­ция рас­пре­де­ле­ния дли­тель­но­сти об­слу­жи­ва­ния име­ет вид $G(t)= 1-e^{-μt}$, $t> 0$, $μ= 1/m$, тре­бо­ва­ния об­ра­зу­ют оче­редь в по­ряд­ке по­сту­п­ле­ния, ог­ра­ни­че­ний на дли­ну оче­ре­ди нет. Ес­ли ко­эф. за­груз­ки $ρ=λ /μ< 1$, то та­кая сис­те­ма ра­бо­та­ет в ста­цио­нар­ном ре­жиме, т. е. её ве­ро­ят­но­ст­ные ха­рак­те­ри­сти­ки по­сто­ян­ны во вре­ме­ни. Оче­редь с ве­ро­ят­но­стью 1 ко­неч­на, её ср. дли­на рав­на $ρ /(1-ρ )$. Ве­ро­ят­ность за­стать в мо­мент по­сту­п­ле­ния оче­редь дли­ны $k$ рав­на $(1-ρ)ρ^k,\: k=0,1,...$, слу­чай­ное вре­мя ожи­да­ния на­ча­ла об­слу­жи­ва­ния име­ет функ­цию рас­пре­де­ле­ния

$$W(t)=1-ρ\text{exp} \{–μ(1-ρ)t \},\: t>0.$$

Рас­чёт ха­рак­те­ри­стик сис­те­мы об­слу­жи­ва­ния су­ще­ст­вен­но ус­лож­ня­ет­ся, ес­ли функ­ция рас­пре­де­ле­ния $G(t)$ от­лич­на от при­ве­дён­ной вы­ше. Ста­цио­нар­ный ре­жим воз­мо­жен при ог­ра­ни­че­нии $ρ=λm<1$. Ср. дли­на оче­ре­ди в мо­мент окон­ча­ния об­слу­жи­ва­ния оче­ред­но­го тре­бо­ва­ния рав­на

$$\rho + \frac{\lambda ^2m_2}{2(1-\rho )},$$

где $m_2$ – вто­рой мо­мент функ­ции рас­пре­де­ле­ния $G(t)$. Для об­щей од­но­ка­наль­ной сис­те­мы об­слу­жи­ва­ния спра­вед­ли­ва фор­му­ла, по ко­то­рой ср. дли­на оче­ре­ди в ста­цио­нар­ном ре­жи­ме рав­на про­из­ве­де­нию ин­тен­сив­но­сти вхо­дя­ще­го по­то­ка на ср. вре­мя пре­бы­ва­ния тре­бо­ва­ния в сис­те­ме.

Для мн. сис­тем об­слу­жи­ва­ния не уда­ёт­ся по­лу­чить яв­ные ана­ли­тич. вы­ра­жения для их ха­рак­те­ри­стик. По­это­му в М. о. т. боль­шое вни­ма­ние уде­ля­ет­ся асим­пто­тич. ме­то­дам ана­ли­за сис­тем об­слу­жи­ва­ния, ана­ли­зу ус­той­чи­во­сти ста­цио­нар­ных ха­рак­те­ри­стик при ма­лых из­ме­не­ни­ях $G(t)$ и т. п. При асим­пто­тич. ана­ли­зе вы­де­ля­ют­ся два пре­дель­ных слу­чая: ма­лой на­груз­ки (бы­ст­ро­го об­слу­жи­ва­ния), ко­гда $ρ→0$, и боль­шой на­груз­ки, ко­гда $ρ→1$.

В М. о. т. ак­ту­аль­ны­ми яв­ля­ют­ся за­да­чи рас­чё­та се­тей, со­стоя­щих из сис­тем об­слу­жи­ва­ния. Та­ко­го ро­да за­да­чи воз­ни­ка­ют при рас­чё­те сис­тем свя­зи с боль­шой про­пу­ск­ной спо­соб­но­стью, управ­ля­е­мых ЭВМ, а так­же при ана­ли­зе вы­чис­лит. сис­тем кол­лек­тив­но­го поль­зо­ва­ния. В та­ких сис­те­мах об­слу­жи­ва­ния воз­мож­на реа­ли­за­ция раз­но­об­раз­ных дис­ци­п­лин об­слу­жи­ва­ния, сре­ди ко­то­рых – т. н. дис­ци­п­ли­на раз­де­ле­ния вре­ме­ни. При та­кой дис­ци­п­ли­не воз­мож­но од­но­вре­мен­ное об­слу­жи­ва­ние мн. тре­бо­ва­ний од­ним об­слу­жи­ваю­щим уст­рой­ст­вом (напр., про­цес­со­ром ЭВМ). Од­на­ко ско­рость об­слу­жи­ва­ния при дис­ци­п­ли­не раз­де­ле­ния вре­ме­ни умень­ша­ет­ся об­рат­но про­пор­цио­наль­но чис­лу од­но­вре­мен­но об­слу­жи­вае­мых тре­бо­ва­ний.

В М. о. т. раз­ра­ба­ты­ва­ют­ся об­щие ме­то­ды рас­чё­та сис­тем об­слу­жи­ва­ния. В ос­но­ву не­ко­то­рых ме­то­дов по­ло­же­на идея пред­став­ле­ния про­цес­са из­ме­не­ния со­сто­я­ний сис­те­мы об­слу­жи­ва­ния как мар­ков­ско­го про­цес­са с дис­крет­ным или не­пре­рыв­ным мно­же­ст­вом со­стоя­ний. В про­стей­ших слу­ча­ях ве­ро­ят­но­сти со­стоя­ний сис­тем об­слу­жи­ва­ния на­хо­дят­ся как ре­ше­ния ко­неч­ных или бес­ко­неч­ных сис­тем ли­ней­ных урав­не­ний. Бо­лее ши­ро­кий класс сис­тем об­слу­жи­ва­ния опи­сы­ва­ет­ся сис­те­ма­ми сме­шан­но­го ти­па – ин­тег­родиф­фе­рен­ци­аль­ны­ми урав­не­ния­ми с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми. По­ка­за­те­ли ка­че­ст­ва ра­бо­ты мн. сис­тем об­слу­жи­ва­ния на­хо­дят на ос­но­ве ста­ти­стич. мо­де­ли­ро­ва­ния (Мон­те-Кар­ло ме­то­да). На­ря­ду с об­щи­ми ме­то­да­ми в М. о. т. ис­поль­зу­ют­ся ме­то­ды, свя­зан­ные со спе­ци­фи­кой кон­крет­ных сис­тем об­слу­жи­ва­ния, при­ме­ни­мые лишь к ча­ст­ным за­да­чам.