МО́НТЕ-КА́РЛО МЕ́ТОД

МО́НТЕ-КА́РЛО МЕ́ТОД, ме­тод ста­ти­сти­че­ских ис­пы­та­ний, чис­лен­ный ме­тод ре­ше­ния за­дач, ис­поль­зую­щий мо­де­ли­ро­ва­ние слу­чай­ных ве­ли­чин и слу­чай­ных про­цес­сов и по­строе­ние на их ос­но­ве ста­ти­стич. оце­нок ис­ко­мых ве­ли­чин. Счи­та­ет­ся, что М.-К. м. воз­ник в 1944 в свя­зи с ра­бо­та­ми по соз­да­нию атом­ных ре­ак­то­ров, ко­гда амер. учё­ные Дж. фон Ней­ман

и С. Улам на­ча­ли при­ме­нять ап­па­рат тео­рии ве­ро­ят­но­стей для ре­ше­ния при­клад­ных за­дач с по­мо­щью ЭВМ. Ши­ро­кое рас­про­стра­не­ние М.-К. м. на­ча­лось с по­яв­ле­ни­ем бы­ст­ро­дей­ст­вую­щих вы­чис­лит. ма­шин. Осо­бую роль в разл. при­ло­же­ни­ях М.-К. м. иг­ра­ет мо­де­ли­ро­ва­ние слу­чай­ных ве­ли­чин с за­дан­ны­ми рас­пре­де­ле­ния­ми ве­ро­ят­но­стей. По­сле­до­ва­тель­ность реа­ли­за­ций не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин мож­но по­лу­чить с по­мо­щью ру­лет­ки; с этим свя­за­но назв. М.-К. м. (от Мон­те-Кар­ло, из­вест­но­го свои­ми игор­ны­ми до­ма­ми). См. так­же Слу­чай­ные и псев­до­слу­чай­ные чис­ла

 >>

.

М.-К. м. при­ме­ня­ет­ся во мно­гих об­лас­тях при­клад­ной ма­те­ма­ти­ки, в ча­ст­но­сти для ре­ше­ния за­дач тео­рии игр, тео­рии мас­со­во­го об­слу­жи­ва­ния, ма­те­ма­тич. эко­но­ми­ки. Для ре­ше­ния де­тер­ми­ни­ро­ван­ной за­да­чи с по­мо­щью М.-К. м. стро­ят ве­ро­ят­но­ст­ную мо­дель, в ко­то­рой пред­став­ля­ют ис­ко­мую ве­ли­чи­ну в ви­де ма­те­ма­тич. ожи­да­ния функ­цио­на­ла от слу­чай­но­го про­цес­са, мо­де­ли­руе­мо­го на ЭВМ. Напр., пусть тре­бу­ет­ся вы­чис­лить ин­те­грал $J=\int_X h(x)dx$ по мно­же­ст­ву $X$ в евк­ли­до­вом $n$-мер­ном про­стран­ст­ве, и пусть $f(x)$ – плот­ность ве­ро­ят­но­сти не­ко­то­рой слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $ξ$ со зна­че­ния­ми в $X$ та­кая, что $J$ мож­но за­пи­сать в ви­де ма­те­ма­тич. ожи­да­ния $$J=\int_X f(x) \frac{h(x)}{f(x)} dx =\text {Eη}$$ слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $η=h(ξ)/f(ξ)$. Мо­де­ли­руя не­за­ви­си­мые зна­че­ния слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $ξ$, мож­но по­лу­чить $N$ реа­ли­за­ций $x_1,\,...,x_N$ этой ве­ли­чи­ны. В си­лу боль­ших чи­сел за­ко­на

с рос­том $N$ ве­ли­чи­ны $$J_N=\frac {1}{N} \sum_{k=1}^N h(x_k)/f(x_k)$$ стре­мят­ся к зна­че­нию $J$. Точ­ность та­ко­го вы­чис­ле­ния ин­те­гра­ла $J$ за­ви­сит от функ­ции $h(x)$, вы­бо­ра плот­но­сти $f(x)$ и от чис­ла $N$. Оцен­ки этой точ­но­сти по­лу­ча­ют­ся с по­мо­щью ме­то­дов тео­рии ве­ро­ят­но­стей.