МО́НТЕ-КА́РЛО МЕ́ТОД
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
МО́НТЕ-КА́РЛО МЕ́ТОД, метод статистических испытаний, численный метод решения задач, использующий моделирование случайных величин и случайных процессов и построение на их основе статистич. оценок искомых величин. Считается, что М.-К. м. возник в 1944 в связи с работами по созданию атомных реакторов, когда амер. учёные Дж. фон Нейман и С. Улам начали применять аппарат теории вероятностей для решения прикладных задач с помощью ЭВМ. Широкое распространение М.-К. м. началось с появлением быстродействующих вычислит. машин. Особую роль в разл. приложениях М.-К. м. играет моделирование случайных величин с заданными распределениями вероятностей. Последовательность реализаций независимых случайных величин можно получить с помощью рулетки; с этим связано назв. М.-К. м. (от Монте-Карло, известного своими игорными домами). См. также Случайные и псевдослучайные числа.
М.-К. м. применяется во многих областях прикладной математики, в частности для решения задач теории игр, теории массового обслуживания, математич. экономики. Для решения детерминированной задачи с помощью М.-К. м. строят вероятностную модель, в которой представляют искомую величину в виде математич. ожидания функционала от случайного процесса, моделируемого на ЭВМ. Напр., пусть требуется вычислить интеграл $J=\int_X h(x)dx$ по множеству $X$ в евклидовом $n$-мерном пространстве, и пусть $f(x)$ – плотность вероятности некоторой случайной величины $ξ$ со значениями в $X$ такая, что $J$ можно записать в виде математич. ожидания $$J=\int_X f(x) \frac{h(x)}{f(x)} dx =\text {Eη}$$ случайной величины $η=h(ξ)/f(ξ)$. Моделируя независимые значения случайной величины $ξ$, можно получить $N$ реализаций $x_1,\,...,x_N$ этой величины. В силу больших чисел закона с ростом $N$ величины $$ J_N=\frac {1}{N} \sum_{k=1}^N h(x_k)/f(x_k)$$ стремятся к значению $J$. Точность такого вычисления интеграла $J$ зависит от функции $h(x)$, выбора плотности $f(x)$ и от числа $N$. Оценки этой точности получаются с помощью методов теории вероятностей.