ЛОГАРИФМИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ЛОГАРИФМИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ, функция, обратная к показательной функции, обозначается $y=\text{ln}x$, её значение $y$, соответствующее значению аргумента $x$, называется натуральным логарифмом числа $x$. Равенство, определяющее Л. ф., равносильно равенству $x=e^у$, где $e=$ 2,71828... – неперово число. Т. к. $e^y> 0$ при любом действительном $y$, то Л. ф. определена только при $x>0$.
В более общем смысле Л. ф. называют функцию $y=\text{log}_ax$, где положительное $a,\; a≠1$, – основание логарифмов. Однако в математич. анализе особое значение имеет функция lnx; функция $\text{log}_ax$ приводится к ней по формуле $\text{log}_ax=\text{ln}\:x/\text{ln}\:a$.
Л. ф. – одна из элементарных функций. Осн. свойства Л. ф. вытекают из свойств показательной функции и логарифмов; напр., Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению $\text {ln}\: x + \text{ln} \: y = \text{ln}\: xy$. Для ${–1}{<}\:{x}\:{⩽}\:1$ справедливо разложение в степенной ряд $$\text{ln}(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...$$
Л. ф. имеет производные всех порядков$$(\text{ln}\:x)′=1/x,\; (\text{ln}\:x)^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1)!/x^n,\; n=2,3, ...$$
Через Л. ф. выражаются мн. неопределённые интегралы, напр.$$\int\frac{dx}{x}=\text{ln}|x|+C,\;\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}=\text{ln}(x+\sqrt{x^2+a}+C.$$
Л. ф. часто встречается в математич. анализе и его приложениях.
Л. ф. была известна математикам 17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф., рассматривалась Дж. Непером (1614).
Л. ф. $\text{Ln}z$ комплексной переменной $z$ является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определённой при всех значениях $z≠0$ равенством $$\text{Ln}\:z=\text{ln}|z|+i\:argz+2πki,\; k=0, ±1, ±2, ...,$$ где $\text{arg}\:z$ – гл. значение аргумента комплексного числа z, $–π<\text{arg}\:z⩽π,\; i$ – мнимая единица. Точки 0 и 5 – точки ветвления бесконечного порядка функции $\text{Ln}z$. В каждой области комплексной плоскости, которая не содержит точку $z=0$ и в которой не существует замкнутых кривых, содержащих эту точку внутри себя, можно выделить непрерывную однозначную ветвь функции $\text{Ln}z$. Напр., в области $G=\left \{z:-π<\text{arg}\:z<π\right \}$ такой ветвью является $$\text{ln}z=\text{ln}|z|+i\:arg\:z,$$ причём $\text{ln}z$ – аналитическая функция в области $G$, а её производная $(\text{ln}z)′=1/z$. Все значения Л. ф. для отрицательных действительных $z$ являются комплексными числами. Первая теория Л. ф. в комплексной плоскости была построена Л. Эйлером (1749).