ЛОГАРИ́ФМ

ЛОГАРИ́ФМ чис­ла $N$ по ос­но­ва­нию $a$, по­ка­за­тель сте­пе­ни $m$, в ко­то­рую сле­ду­ет воз­вес­ти чис­ло $a,\;a>0$ и $a≠1$, что­бы по­лу­чить $N$; обо­зна­ча­ет­ся $\text{log}_a\:N$, т. е. $m =\text{log}_a\:N$, ес­ли $a^m = N$. Напр., $\text{log}_{10}100 = 2,\; \text{log}_2{1/32} = –5,\; \text{log}_a1 = 0 $, т. к. $100 = 10^2,\; 1/32 = 2^{–5},\; 1=a^0$. Для дан­но­го осно­ва­ния $a$ ка­ж­до­му по­ло­жи­тель­но­му чис­лу со­от­вет­ст­ву­ет един­ст­вен­ный дей­ст­ви­тель­ный Л. (ло­га­риф­мы от­ри­ца­тель­ных чи­сел яв­ля­ют­ся ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми). Осн. свой­ст­ва Л.$$\text{log}_a(MN)=\text{log}_aM+\text{log}_aN,$$$$\text{log}_a(M/N)=\text{log}_aM-\text{log}_aN,$$$$\text{log}_a\sqrt[k]N=k\text{log}_aN,$$$$\text{log}_a\sqrt[k] N=\frac {1}{k}\text{log}_aN,$$где $k,\; M,\; N$ – дей­ст­ви­тель­ные чис­ла, $M,\; N>0$, по­зво­ля­ют сво­дить ум­но­же­ние и де­ле­ние чи­сел к сло­же­нию и вы­чи­та­нию их Л., а воз­ве­де­ние в сте­пень и из­вле­че­ние кор­ня к ум­но­же­нию и де­ле­нию Л. на по­ка­за­тель сте­пе­ни или кор­ня, т. е. к бо­лее про­стым дей­ст­ви­ям.

Ес­ли ос­но­ва­ние $a$ фик­си­ро­ва­но, то го­во­рят об оп­ре­де­лён­ной сис­те­ме Л. В свя­зи с ши­ро­ким ис­поль­зо­ва­ни­ем де­ся­тич­ной сис­те­мы счис­ле­ния наи­бо­лее упот­ре­би­тель­ны де­ся­тич­ные Л., обо­зна­чае­мые $\text{lg}N$, для ко­то­рых $a= 10$. Це­лую часть де­ся­тич­но­го Л. на­зы­ва­ют ха­рак­те­ри­сти­кой, дроб­ную – ман­тис­сой. Т. к. $\text{lg}(10^kN)=k+\text{lg}N$, де­ся­тич­ные Л. чи­сел, от­ли­чаю­щих­ся мно­жи­те­лем $10^k$, где $k$ – це­лое чис­ло, име­ют оди­на­ко­вые ман­тис­сы и раз­ли­ча­ют­ся лишь ха­рак­те­ри­сти­ка­ми. Это свой­ст­во ле­жит в ос­но­ве по­строе­ния таб­лиц Л., ко­то­рые со­дер­жат лишь ман­тис­сы Л. це­лых чи­сел.

Час­то ис­поль­зу­ют­ся так­же на­ту­раль­ные Л., ос­но­ва­ни­ем ко­то­рых слу­жит не­пе­ро­во чис­ло e=2,71828...; их обо­зна­ча­ют $\text {ln}N$. Пе­ре­ход от од­но­го ос­но­ва­ния Л. к дру­го­му осу­ще­ст­в­ля­ет­ся по фор­му­ле $\text{log}_bN=\text{log}_aN/\text{log}_ab$, чис­ло $1/\text{log}_ab$ на­зы­ва­ет­ся мо­ду­лем пе­ре­хо­да от ос­но­ва­ния $a$ к ос­но­ва­нию $b$. Для пе­ре­хо­да от на­ту­раль­ных Л. к де­ся­тич­ным или об­рат­но ис­поль­зу­ют­ся фор­му­лы $$\text{ln}N=\text{lg}N/\text{lg}e, \text{lg}N=\text{ln}N/\text{ln}10,$$

$$1/\text{lg}e=2,30258...,\; 1/\text{ln}10=0,43429...$$

По­яв­ле­ние Л. свя­за­но с бы­ст­рым раз­ви­ти­ем ас­тро­но­мии в 16 в., уточ­не­ни­ем ас­тро­но­мич. на­блю­де­ний и ус­лож­не­ни­ем вы­чис­ле­ний. Ав­то­ры пер­вых таб­лиц Л. ис­хо­ди­ли из за­ви­си­мо­сти ме­ж­ду свой­ст­ва­ми гео­мет­рич. про­грес­сии и со­став­лен­ной из по­ка­за­те­лей сте­пе­ней её чле­нов ариф­ме­тич. про­грес­сии. Эти за­ви­си­мо­сти, час­тич­но под­ме­чен­ные Ар­хи­ме­дом, бы­ли хо­ро­шо из­вест­ны Н. Шю­ке (1484) и нем. ма­те­ма­ти­ку М. Шти­фе­лю (1544). Пер­вые таб­ли­цы Л. со­ста­ви­ли од­но­времен­но и не­за­ви­си­мо друг от дру­га Дж. Не­пер (1614, 1619) и швейц. ма­тема­тик Й. Бюр­ги (1620). Важ­ный шаг в тео­ре­тич. изу­че­нии Л. сде­лал бельг. ма­те­ма­тик Гри­го­рий из Сен-Вин­цен­та (1647), об­на­ру­жив­ший связь Л. и пло­ща­дей, ог­ра­ни­чен­ных ду­гой ги­пер­бо­лы, осью абс­цисс и со­от­вет­ст­вую­щи­ми ор­ди­на­та­ми. Пред­став­ле­ние Л. сте­пен­ным ря­дом $$\text{ln}(a+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...$$ пред­ло­же­но Н. Мер­ка­то­ром (1668). Шотл. ма­те­ма­тик и ас­тро­ном Дж. Гре­го­ри (1668) на­шёл раз­ло­же­ние $$\text{ln}\frac{M}{N}= 2\left ( \frac{M-N}{M+N}+\frac{1}{3}\left(\frac{M-N}{M+N} \right )^3+\frac{1}{5}\left(\frac{M-N}{M+N} \right )^5+... \right ).$$

Этот ряд бы­ст­ро схо­дит­ся, ес­ли $M=N+1$  и $N$ дос­та­точ­но ве­ли­ко, по­это­му он мо­жет быть ис­поль­зо­ван для вы­чис­ле­ния Л. В раз­ви­тии тео­рии Л. боль­шое зна­че­ние име­ли ра­бо­ты Л. Эй­ле­ра, ко­то­рый ввёл по­ня­тие ло­га­риф­ми­ро­ва­ния как дей­ст­вия, об­рат­но­го воз­ве­де­нию в сте­пень.

Тер­мин «Л.» пред­ло­жил Дж. Не­пер. Тер­мин «на­ту­раль­ный ло­га­рифм» при­над­ле­жит Н. Мер­ка­то­ру, «ха­рак­те­ри­сти­ка» – англ. ма­те­ма­ти­ку Г. Бриг­су, «ман­тис­са» в ука­зан­ном смыс­ле – Л. Эй­ле­ру, «ос­но­ва­ние» Л. – ему же, по­ня­тие о мо­ду­ле пе­ре­хо­да ввёл Мер­ка­тор. Совр. оп­ре­де­ле­ние Л. да­но англ. ма­те­ма­ти­ком В. Гар­ди­не­ром (1742).